Rozwiąż układ równań z tw. Cramera i Kroneckera-Capelliego

Ludzik19 · Post autor: **Ludzik19** » 14 gru 2012, o 22:37

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-3y-4z+8u+1=0\\5x+y+7z+4u-6=0\\-x+2y+3z-3u-1=0\\3x-y+z+4u+2=0 \end{cases}}\)

zapisuje to jako macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&-3&-4&8\\5&1&7&4\\-1&2&3&-1\\3&-1&1&4\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1\\6\\1\\-2\end{array}\right]}\)

Z twierdzenia Cramera:
Teraz muszę policzyć wyznaczniki 4 macierzy zastępując po kolei każdą kolumnę przynależny do x,y,z,u kolumną \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1\\6\\1\\-2\end{array}\right]}\) i policzyć wyznacznik każdej takiej powstałej macierzy, która będąc kwadratową 4x4 do policzenia wyznacznika będzie wymagała policzenia kolejnych 4 macierzy 3x3? Czy na tym polegała by ta metoda w tym przypadku ?

I czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak rozwiązać ową macierz z tw. Kroneckera-Capelliego?

Vardamir · Post autor: **Vardamir** » 14 gru 2012, o 22:40

Skorzystaj z metody eliminacji Gaussa, sprowadź do macierzy schodkowej.

Ludzik19 · Post autor: **Ludzik19** » 14 gru 2012, o 23:33

Czy mógłbyś dać mi jakąś wskazówkę ? Siedzę prawie godzinę i nie mogę doprowadzić jej do schodkowej
Wiem o co chodzi i jak to zrobić, ale w tym przypadku za nic nie chce mi to wyjść ;/

Vardamir · Post autor: **Vardamir** » 15 gru 2012, o 09:31

Pomyliłeś się przy zapisywaniu macierzy.

Ludzik19 pisze:zapisuje to jako macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&-3&-4&8\\5&1&7&4\\-1&2&3&{\red -3}\\3&-1&1&4\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1\\6\\1\\-2\end{array}\right]}\)

Dobra, zrobię pierwszy krok. Zamieniamy trzeci wiersz z pierwszym. Następnie \(\displaystyle{ w_2+5w_1 , w_3+2w_1 , w_4+3w_1}\) i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c}-1&2&3&-3&1\\0&11&22&-11&11\\0&1&2&2&1\\0&5&10&-5&1\end{array}\right]}\)

Teraz już widać co trzeba zrobić aby to dokończyć.

Ludzik19 · Post autor: **Ludzik19** » 16 gru 2012, o 18:07

Dzięki wielkie Wyznacznik = 0, więc niemożna skorzystać z tw. Cramera. Więc skoro tak należy użyć Kroneckera-Capelliego. I teraz mam małe pytanie.
W związku z tym, że macierz początkowa, jak ewentualna macierz uzupełniona były by maksymalnie tego samego rzędu. To wystarczy, że wybiorę z macierzy podstawowej minor (dowolny) i policzę wyznacznik i gdy ten będzie \(\displaystyle{ \neq 0}\)to rząd=3 ?
I dalsze działania prowadzę wtedy na tych 3 równaniach, których użyłem wcześniej do policzenia rzędu=3 ?

W tym przykładzie wyszedł mi tym sposobem rząd=2

I tutaj mam problem bo powstaje macierz 4x2 i jak mam policzyć x/y/z/u z owej macierzy ?

Oto pozostałe równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-3y-4z+8u=-1\\5x+y+7z+4u=6\end{cases}}\)