składanie dwóch i trzech funkcji

[ew_ka]

proszę o pomoc. mam do rozwiązania zadanie:
funkcje są dane wzorami:
\(\displaystyle{ f(x) = x^{2} -2x}\)
\(\displaystyle{ g(x) = \cos x}\)
\(\displaystyle{ h(x) = 2^{x}}\)
\(\displaystyle{ t(x) = \log _{2}x}\)
należy znaleźć:
\(\displaystyle{ f \cdot g, g \cdot f, f \cdot g \cdot h, h \cdot t}\)
nie znalazłam symbolu iloczynu skalarnego, więc użyłam \(\displaystyle{ \cdot}\)
gdyby ktoś mógł mi wyjaśnić i rozwiązać przynajmniej jeden z w/w przykładów, byłabym ogromnie wdzięczna.
pozdrawiam

[Jacek_Karwatka]

Odpowiedź zależy od przyjętej definicji iloczynu skalnego:

Zwykle jest to coś w rodzaju:
\(\displaystyle{ f(x) \cdot g(x)= \int_{}^{} w(x)f(x)g(x)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ w(x) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{}w(x)=1}\)

[ew_ka]

a czy definicja \(\displaystyle{ f \cdot g = f(g(x))}\) też jest poprawna? jeśli tak, to czy ktoś mógłby rozwiązać w ten sposób którykolwiek z powyższych przykładów żebym zobaczyła czy dobrze myślę? z góry dziękuję i pozdrawiam.

[Jacek_Karwatka]

\(\displaystyle{ f \cdot g = f(g(x))}\) to zwykłe składanie funkcji.
Wynikiem składania funkcji jest nowa funkcja. Wynikiem iloczynu skalarnego - skalar
Odpowiednik składania trzech funkcji wygląda tak \(\displaystyle{ f \cdot g \cdot h = f(g(h(x)))}\)
jeśli:
\(\displaystyle{ f(x) = x^{2} -2x}\)
\(\displaystyle{ g(x) = \cos x}\)
\(\displaystyle{ h(x) = 2^{x}}\)

\(\displaystyle{ f \cdot g \cdot h = f(g(h(x)))=f(g(2^{x}))=f( \cos(2^{x}) )= \cos(2^{x}) ^{2}-2 \cos(2^{x})}\)