Równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 pkt

[Drzewo18]

Mam napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty: \(\displaystyle{ P=(1,2,1),Q=(-1,-4,1),R=(-2,-1,-2)}\).
Prowadzący ćwiczenia przesłał nam rozwiązanie, w którym ułożył następujący układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b+c=d \\ -a-4b+c=d \\ -2a-b-2c=d\end{cases}}\)
Wydaje mi się, że po prawej stronie powinno być \(\displaystyle{ -d}\) zamiast \(\displaystyle{ d}\), tak powinno być? Czy to nie ma znaczenia?

Później wyszło rozwiązanie zależne od \(\displaystyle{ d}\): \(\displaystyle{ a=-3d, b=d, c=2d}\) i dalej jest napisane, że podstawiamy \(\displaystyle{ d=-1}\) i znajdujemy resztę współczynników. I tak się zastanawiam, czemu podstawiamy akurat \(\displaystyle{ -1}\)? Przecież jak podstawimy \(\displaystyle{ d=5}\), to wyjdzie co innego.

[pawellogrd]

Masz równanie ogólne płaszczyzny postaci: \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0 \Rightarrow Ax+By+Cz=-D \Rightarrow \frac{A}{D}x+\frac{B}{D}y+\frac{C}{D}z=-1}\)

U Ciebie układ równań został ułożony na podstawie tej ostatniej postaci, gdzie \(\displaystyle{ a=\frac{A}{D}}\), \(\displaystyle{ b=\frac{B}{D}}\), \(\displaystyle{ c=\frac{C}{D}}\) oraz \(\displaystyle{ d=-1}\). Zwróć uwagę, że \(\displaystyle{ d \neq D}\).

[Drzewo18]

Czyli że zawsze w takich wypadkach mam podstawiać \(\displaystyle{ d=-1}\) i nie mogę żadnej innej liczby?

[pawellogrd]

Masz dwie postaci równań płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \frac{A}{D}x+\frac{B}{D}y+\frac{C}{D}z=-1}\)

\(\displaystyle{ ax+by+cz=d}\)

Pierwsza została wyprowadzona przeze mnie wyżej z równania ogólnego płaszczyzny, więc siłą rzeczy nie może po prawej stronie tego równania stać inna liczba niż \(\displaystyle{ -1}\) jeżeli lewa strona jest taka, jak widać. Drugie równanie musi być równoważne pierwszemu - żeby tak było to jeśli \(\displaystyle{ a=\frac{A}{D}}\), \(\displaystyle{ b=\frac{B}{D}}\), \(\displaystyle{ c=\frac{C}{D}}\) to wtedy musi zachodzić \(\displaystyle{ d=-1}\). Jeżeli byś miał \(\displaystyle{ a=2\frac{A}{D}}\), \(\displaystyle{ b=2\frac{B}{D}}\), \(\displaystyle{ c=2\frac{C}{D}}\) to wtedy \(\displaystyle{ d=-2}\) itd. Jeżeli masz wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny to na końcu mając obliczone \(\displaystyle{ a,b,c}\) dopiero z tego wyznaczasz \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) czyli właściwe współczynniki równania ogólnego płaszczyzny. Chyba, że masz wyznaczyć równanie płaszczyzny w innej postaci.

[zidan3]

Mechaniczny sposób na wyznaczenie równania płaszczyzny, jeśli mamy dane trzy punkty \(\displaystyle{ (a,b,c), (d,e,f), (g,h,i)}\) to równanie płaszczyzny opisuję:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\a&b&c&1\\d&e&f&1\\g&h&i&1\end{array}\right|}\)
Zatem wystarczy podstawić punkty i obliczyć wyznacznik.