Sprawdz liniową niezależność wektorów

[ole1k]

Sprawdz liniową niezależność wektorów
\(\displaystyle{ w1= x^{2} -1

w2= x+2

w3= x^{2}-2x}\)
Jeśli są liniowo niezależne przedstawić jako kombinację liniową \(\displaystyle{ ( x^{2} +x+1)}\)

[szw1710]

Zbuduj kombinację liniową tych trzech wielomianów, uporządkuj potęgi, a dostaniesz jednorodny układ równań na współczynniki przy kolejnych potęgach \(\displaystyle{ x}\). Zobacz czy jego wyznacznik jest niezerowy. To wystarczy.

[ole1k]

\(\displaystyle{ a_{1} (x ^{2} -1) + a_{2} (x+2) + a _{3} (x ^{2} -2x) =?}\)
Co mam wstawić za "?"

nie to chyba zły pomysł ... nie wiem jak ułożyć tę kombinację .

[szw1710]

\(\displaystyle{ a_1(x^2-1)+\dots=0}\) z definicji liniowej niezależności. Dalej jak powiedziałem wcześniej.

[ole1k]

wielomiany są takie, zaszła pomyłka w w1
\(\displaystyle{ w1= x^{2}

w2= x+2

w3= x^{2}-2x}\)
dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ ( a_{1}+ a_{3} ) x^{2} +(a _{2}-2a _{3} )x-2a _{2}}\)
czyli metodą współczynników mam :
\(\displaystyle{ 1+1+1-2-2=-1}\)
Czyli -1 jest wyznacznikiem?

i chciałbym żeby mi ktoś pomógł przy takim zadaniu:

Wyznacz permutacje x i określ znak wiedząc że:

\(\displaystyle{ (1234)x(1234)

(2134)x(1343)}\)
sprawa techniczna i nie potrafiłem tego jakoś wyraźniej. tu są dwie macierze jedna ma u góry 1234 i u dołu 2134 , a druga analogicznie 1234 u góry i 1343 u dołu. Pomiędzy macierzami znajduje się jeden X. Przepraszam za to.

[szw1710]

Stąd trywialnie widać, że \(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=0}\) co dowodzi liniowej niezależności. Nawet wyznacznika nie trzeba.