Podprzestrzenie rozpięte na wierszach macierzy

[addmir]

Niech \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\2&0&6\\1&2&7\end{array}\right], B = \left[\begin{array}{ccc}1&-4&4\\4&-8&6\\0&-4&5\end{array}\right]}\)
Czy podprzestrzenie liniowe orzpięte na wierszach macierzy A i B są takie same?

Proszę o pomoc w rozwiązaniu

[szw1710]

\(\displaystyle{ \det A=0}\), a rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Pierwsze dwa wektory wierszowe są liniowo niezależne. Trzeci wiersz można wyrzucić bez szkody dla generowanej podprzestrzeni.

Tak samo jest dla macierzy \(\displaystyle{ B}\).

Jeśli więc pierwsze dwa wiersze macierzy \(\displaystyle{ B}\) są liniowo zależne z pierwszymi dwoma wierszami macierzy \(\displaystyle{ A}\), to podprzestrzenie są równe. Tę liniową zależność sprawdzamy podmieniając trzeci wiersz macierzy \(\displaystyle{ A}\) kolejno pierwszym i drugim wierszem macierzy \(\displaystyle{ B}\). Jeśli oba wyznaczniki wyjdą zerowe, to odpowiedź na pytanie z tego akapitu jest pozytywna i przestrzenie są identyczne. Jeśli nie - nie są.

Znajdź teraz wyjaśnienie teoretyczne dla mojego algorytmu. Opiera się ono na pojęciach liniowej niezależności wektorów i bazy.

[addmir]

Znajdź teraz wyjaśnienie teoretyczne dla mojego algorytmu.

\(\displaystyle{ detA = 0, rankA = 2}\)Czyli pierwsze dwa wiersze macierzy A są bazą podprzestrzeni rozpiętej na wierszach macierzy A. Tak samo B.
Czyli, jeśli się zdarzy, że pierwsze dwa wiersze macierzy A i pierwszy wiersz macierzy B są zależne oraz pierwsze dwa wiersza macierzy A i drugi wiersz macierzy B są zależne, to generowane podprzestrzenie są takie same.
Czy równie dobrze można by zbadać liniową niezależność pierwszego wiersza A i pierwszego wiersza B, pierwszego wiersza A i drugiego wiersza B, drugiego wiersza A i pierwszego wiersza B, drugiego wiersza A i drugiego wiersza B? Jeśli za każdym razem wyszłaby liniowa niezależność to podprzestrzenie byłyby równe?


Z tego zadania wyszło mi, że wyznaczniki macierzy utworzonych z dwóch pierwszych wierszy A i odpowiednio pierwszego i drugiego wiersza B są różne od zera. Więc podprzestrzenie są różne?



(b)Czy podprzestrzenie rozpięte na kolumnach macierzy A i B są takie same?
\(\displaystyle{ detA=detB=0, rankA=rankB=2}\) Podobnie jak powyżej, odpowiednie wyznaczniki wyszły mi różne od zera. Czyli tutaj podprzestrzenie też są różne?



(c) Czy podprzestrzenie zerowe macierzy A i B są takie same?
Podprzestrzenie zerowe czyli zbiór wszystkich rozwiązań \(\displaystyle{ Ax=0, By=0}\).
No więc wyszło mi \(\displaystyle{ N(A)=\left\{ \left[ \begin{array}{c}a\\2a\\a \end{array} \right]: a \in \mathbb{R} \right\},
N(B)=\left\{ \left[ \begin{array}{c}b\\\frac{5}{4}b\\b \end{array} \right]: b \in \mathbb{R} \right\}}\)
Czyli bazą N(A) jest np \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c}1\\2\\1 \end{array} \right]}\),
a bazą N(B) jest np \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c}4\\5\\4 \end{array} \right]}\)
Pozostaje zbadać ich liniową zależność. Wyszło mi, że są liniowo niezależne. Czyli znów podprzestrzenie są różne?


Prosiłbym o sprawdzenie