przestrzen liniowa

[waliant]

Czy zbiór\(\displaystyle{ \left\{ \left( x _{1},x _{2},x _{3} \right) \in R ^{3} :x _{1}=0 \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

Wiem że muszę sprawdzić, że jak dwa wektory spełniają podany warunek to ich suma też go spełnia i że pomnożony wektor przez liczbę też go spełnia, lecz nie rozumiem dlaczego wystarczy że \(\displaystyle{ x _{1}+y _{1}=0}\), a co z pozostałymi \(\displaystyle{ x _{2}+y _{2}}\) i \(\displaystyle{ x _{3}+y _{3}}\)?

[kamil13151]

Gdyż masz dany warunek \(\displaystyle{ x_1=0}\), czyli pierwsza współrzędna wektora musi być równa zero, następne współrzędne są dowolne, dlatego nie musimy sprawdzać ile wynosi ich suma.

[waliant]

czyli jest wystarczajace ze tylko jedna bedzie zerem? czy ma byc pierwsza?

[szw1710]

Zamiast patrzeć na to tak formalnie spójrz inaczej: przecież to płaszczyzna. A płaszczyzna (każda) zawierająca początek układu jest podprzestrzenią liniową. I to każdej przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\).

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ (A,B,C)\ne(0,0,0)}\), to zbiór \(\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\in\RR^3:Ax+By+Cz=0\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^3}\). Twoje zadanie zawiera się w moim.

[kamil13151]

Podprzestrzeń zadana wzorem: \(\displaystyle{ \left\{ \left( x _{1},x _{2},x _{3} \right) \in R ^{3} :x _{1}=0 \right\}}\) składa się z wektorów, gdzie pierwsza współrzędna jest równa zero, a pozostałe są dowolnymi liczbami.

[waliant]

a więc jak sprawdzic taki przykład \(\displaystyle{ \left\{ \left( x _{1},x _{2},x _{3} \right) \in R ^{3} :x _{1}+2x _{2} =1\right\}}\) ?

[kamil13151]

Do każdej podprzestrzeni musi należeć wektor zerowy. Dlaczego? Czy w podanym przykładzie należy?

[waliant]

no wlasnie nie wiem jak to pokazac, a domyslam sie ze nie nalezy

[kamil13151]

Wstaw \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) do równania.