przeksztalcenia liniowe

[54321]

Znależć Ker f Im f i ich bazy dla następujących odwzorowań liniowychf:\(\displaystyle{ R^4 \rightarrow R^3}\): \(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x_1+x_2+x_3−x_4,2x_1+x_2−x_3+x_4,x_2+3x_3 − 3x_4)}\) wywnioskować czy f jest injekcją, surjekcą, bijekcją?
wyszlo mi ze\(\displaystyle{ \ker f={x_1=-4t+2s, x_2 = 3t-3s, x_3=s, x_4 =t , t,s \in R}= lin {(2,-3,1,0)(-4,3,0,1)}}\)\(\displaystyle{ \Im f= lin {(1,2,0),(1,1,1),(1,-1,3),(-1,1,-3)}}\) dobrze mi wyszlo? i jak teraz sprawdzic czy to jest surjekcja injekcja bijkecja sa jakies twierdzenia o tym. jakieś własności? bardzo porsze o pomoc

[Kartezjusz]

Zauważ,że przekształcenie liniowe jest iniekcją wtedy i tylko wtedy,gdy jądro jest jednoelementowe. Istotnie .Wiemy już ,że f(0)=0 z liniowości,ale jeśli założymy dodatkowo różnowartościowość,to nigdzie więcej zera nie dostaniemy,bo powtórzy się wartość zero. W srugą stronę.Załóżmy jednoelementowość jądra.
\(\displaystyle{ f(x)=f(y) \Leftrightarrow f(x-y)=0 \Leftrightarrow x-y=0}\)

Aby pokazać surjektywność musimy pokazać,że \(\displaystyle{ im f =Y}\)
Istotnie \(\displaystyle{ Im f={y: \exists_{x \in X} f(x)=y}}\)Ale
\(\displaystyle{ Imf=Y}\)Jeśli to założymy to po zapisie co znaczy ta równość zauważamy,że to jest dokładnie surjektywność

U Ciebie trzeba jeszcze wyjąć podprzestrzeń bazową,bo twoja jest trójwymiarowa,a tym masz w obrazie 4 wektory. Conajmniej jeden jest zależny od pozostałych.

[54321]

dalej tej surjektywnosci nie ogarniam

[smigol]

To przekształcenie nie jest liniowe.

[54321]

dlaczego?

-- 31 gru 2012, o 15:06 --

tak ma byc oczywiscie \(\displaystyle{ x_3+x_4 oraz 3x_3+3x_4}\)-- 2 sty 2013, o 12:08 --ponawiam pytanie