Dowód z macierzą

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 5 gru 2012, o 13:10

Wykaż, że każda macierz kwadratowa stopnia drugiego \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}a& b\\c &d\\\end{vmatrix}}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0}\).

pyzol · Post autor: **pyzol** » 5 gru 2012, o 14:11

Wystarczy podstawić i liczyć. Z czym masz problem?

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 8 gru 2012, o 12:44

Ale co mam podstawić i co liczyć? Bo nie wiem za bardzo o co chodzi w zadaniu...

pyzol · Post autor: **pyzol** » 8 gru 2012, o 13:22

Macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a& b\\c &d\\\end{bmatrix}^2 -(a+d)\begin{bmatrix}a& b\\c &d\\\end{bmatrix}+(ad-bc)}\)
Te ostatnie wyrażenie to macierz diagonalna, gdzie elementy na głównej przekątnej, to \(\displaystyle{ (ad-bc)}\).

Koryfeusz · Post autor: **Koryfeusz** » 8 gru 2012, o 18:36

Wystarczy powołać się na tw. Cayley'a-Hamiltona!