Metoda Gaussa-Jordana 5 równań i 5 niewiadomych

edo_900 · Post autor: **edo_900** » 3 gru 2012, o 19:57

Witam, borykam się z pewnym zadaniem, którego za cholerę nie mogę rozwiązać. Mianowicie jest to metoda Gaussa Jordana z 5 równaniami i 5 niewiadomymi.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5 {x_1} +2 {x_2} +6 {x_3} +6 {x_4} -7 {x_5} =8 \\
4 {x_1} -4 {x_2} +7 {x_3} +2 {x_4} +1 {x_5} =16 \\
5 {x_1} +9 {x_2} -3 {x_3} +1{x_4} +5 {x_5} =3 \\
-3 {x_1} +4 {x_2} +7 {x_3} +9 {x_4} -3 {x_5} =5 \\
6 {x_1} +1 {x_2} +6 {x_3} -4 {x_4} +2 {x_5} =7 \end{cases}}\)

Zacząłem rozwiązywać to za pomocą metody liniowej - nie macierzy. Dlatego też prosiłbym o pomoc w tym kierunku

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 4 gru 2012, o 00:48

przecież to tylko utrudnienie sobie zadania ;p skoro masz to rozwiązać metodą Gaussa, to czemu nie wrzucasz tego w macierz i nie robisz zgodnie z metodą?

edo_900 · Post autor: **edo_900** » 4 gru 2012, o 04:28

z tego względu, że mam takie wymagania zadaniowe;/-- 4 gru 2012, o 14:53 --Prosiłbym o w miarę szybką pomoc, czy to telefoniczną czy przez forum.

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 4 gru 2012, o 21:57

edo_900 pisze:Metoda Gaussa-Jordana

Zrozumiałem że to są twoje wymagania zadaniowe...

cóż, możesz to rozwiązywać bez użycia macierzy, acz w zasadzie wciąż metodą eliminacji Gaussa Jordana. jeśli dodasz w tej chwili np. do piątego równania czwarte to to też będzie prawidłowe, a metoda "liniowa", o ile chodzi tylko o nieużywanie macierzy
Musisz się z tym pobawić, nikt raczej tu nei est jasnowidzem i nie zobaczy jakiejś "zielonej ścieżki" dizęki której od razu wszystko będzie rozwiązane. To jest mimo wszystko układ aż pięciu równań.

Pozdrawiam

edo_900 · Post autor: **edo_900** » 4 gru 2012, o 22:24

... ordana.htm

w ten sposób chciałbym to rozwiązać

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 4 gru 2012, o 22:41

no i to generalnie jest ta eliminacja przy macierzach do macierzy jednostkowej.. masz tam wszystko dokładnie opisane. w czym problem?

edo_900 · Post autor: **edo_900** » 5 gru 2012, o 04:32

w tym że robię pierwszy krok.... Tworzę pierwszy układ zredukowany. Przystępuję do eliminacji x2 i w połowie już mi się coś "psuje"

-- 5 gru 2012, o 15:00 --

może złym tropem idę. Doszedłem do momentu gdzie mam pierwszy układ zredukowany z wyeliminowaną x1. więc teraz nie biorę pod uwagę układu 2.9, tylko cztery pozostałe które obliczyłem i dalej robię tym samym sposobem co na początku aż dojdę do momentu gdzie zostanie mi coś w stylu 2.14? i dopiero będę musiał przejść do dalszej części obliczeń?-- 5 gru 2012, o 16:11 --wiem w czym tkwił błąd. na samym początku zrobiłem dwa babole przez co wyniki się waliły
na czym polega metoda rozkładu trójkątnego LU? mógłby ktoś pomóc?

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 5 gru 2012, o 18:45

Tu już raczej nikt nie zagląda to proponuję założyć nowy temat -- 5 gru 2012, o 18:46 --chociaż w sumie..

Tu jest chyba dość jasno wyjaśnione.

edo_900 · Post autor: **edo_900** » 5 gru 2012, o 20:05

142865.htm
korzystam z tego, skończyłem liczyć w4-31/3W3.... co mam dalej robić? nie wiem skąd się wzięły te dwie macierze po =

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 5 gru 2012, o 20:55

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}2&4&5&8 \\1&7&2&4\\3&9&6&1\\8&2&9&7 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cccc}1&0&0&0 \\ \frac{1}{2}&1&0&0\\ \frac{3}{2}& \frac{3}{5}&1&0\\4&- \frac{14}{5}& \frac{31}{3}&1\end{array} \right]\left[ \begin{array}{cccc}2&4&5&8 \\0&5&- \frac{1}{2} &0\\0&0&- \frac{6}{5} &-11\\0&0&- 0 & \frac{266}{3} \end{array} \right]}\)

lewa skrajna macierz to macierz początkowa, skrajna prawa to ta która została obliczona wyżej.
ta środkowa to myśle że obliczona na boku tylko koledze się nie chciało przepisywać , po prostu pewnie przekształcona ta macierz początkowa do tej środkowej. Na tej samej zasadzie albo prawie;o-- 5 gru 2012, o 21:04 --

Macierz \(\displaystyle{ \left[U \right]_{n \times n}}\)
jest macierzą po eliminacji Gaussa

Macierz \(\displaystyle{ \left[L \right]_{n \times n}}\)
jest macierzą współczynników użytych do zerowania odpowiednich elementów macierzy \(\displaystyle{ \left[A \right]_{n \times n}}\)

edo_900 · Post autor: **edo_900** » 6 gru 2012, o 19:14

nadal nie mam zielonego pojęcia skąd ona się tam wzięła. nie dociera to do mnie....

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 6 gru 2012, o 21:32

Z tego co czytam, to macierz \(\displaystyle{ \left[L\right]_{n\times n} = \left[ \begin{array}{cccc}1&0&0&0 \\ \frac{1}{2}&1&0&0\\ \frac{3}{2}& \frac{3}{5}&1&0\\4&- \frac{14}{5}& \frac{31}{3}&1\end{array} \right]}\)

A jest ona przekształceniem macierzy początkowej: \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}2&4&5&8 \\1&7&2&4\\3&9&6&1\\8&2&9&7 \end{array} \right]}\) , celem przekształcania było wprowadzenie zer w odpowiednich (widać w których) miejscach tej macierzy.

edo_900 · Post autor: **edo_900** » 7 gru 2012, o 04:36

czyli jak moja macierz będzie wyglądać? skąd te ułamki?

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 7 gru 2012, o 14:05

no, zrozumiałem ze działamy w tej chwili na tamtym przykładzie...
wczytałem się teraz w tamto lepiej.. i jest inaczej.

zauważ, że te ułamki to są dokładnie te same których używano do przekształcenia początkowej macierzy. ta macierz \(\displaystyle{ L}\) to macierz złożona z tych współczynników. I ona pomnożona przez tą macierz otrzymaną z przekształceń (macierz \(\displaystyle{ U_{n\times n}}\)) da macierz początkową.

Natomiast macierz \(\displaystyle{ L_{n\times n}}\) pomnożona przez tą macierz \(\displaystyle{ Y_{n\times 1}}\) da macierz \(\displaystyle{ B_{n\times 1}}\)

a macierz \(\displaystyle{ U_{n\times n}}\) pomnożona przez macierz \(\displaystyle{ X_{n\times 1}}\) da macierz \(\displaystyle{ Y_{n\times 1}}\) .

Rozwiązaniem zadania jest macierz \(\displaystyle{ X_{n\times 1}}\)