Macierze odwrotne

[Dziubasek123]

Mam problem z kilkoma zadaniami:

1. Przy pomocy macierzy odwrotnej wyznaczyć macierz X.

X * \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\4&3&2\\1&-2&5\end{array}\right]}\)

2. Dana jest macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\2&0&2\end{array}\right]}\). Wyznacz macierz X spełniajacą następującą równość:
\(\displaystyle{ X^{-1}(X^{T}I)^{-1}X^{T} = A}\)

3. Stosując operacje elementarne obliczyć następujące wyznaczniki wykorzystując występujące w nich regularności:
a) \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&1&3&3&3\\0&1&1&3&3&0\\0&0&1&3&0&0\\0&0&3&1&0&0\\0&3&3&1&1&0\\3&3&3&1&1&1\end{vmatrix}}\)

4. Stosując operacje elementarne obliczyć następujące wyznaczniki:
b) \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -1&4&0\\2&5&-2\\-3&0&3\end{vmatrix}}\)
f) \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&1&2&12\\2&0&1&1&4\\2&1&1&-1&3\\3&2&-1&1&8\\1&1&1&0&6\end{vmatrix}}\)

[777Lolek]

1.
masz \(\displaystyle{ X\cdot A = B \Leftrightarrow X\cdot A\cdot A^{-1} = B\cdot A^{-1} \Leftrightarrow X = B\cdot A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ \left[A|I\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{array}\left| \begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right.\right]}\)
Potrzebujesz otrzymać:
\(\displaystyle{ \left[I|A^{-1}\right]}\)
Proponuję eliminację Gaussa.
Jak dostaniesz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) to podstawiasz do \(\displaystyle{ X = B\cdot A^{-1}}\)

2.
\(\displaystyle{ X^{-1}(X^{T}I)^{-1}X^{T} = X^{-1}(X^T)^{-1}X^T = X^{-1}I = X^{-1}}\)
Więc masz znaleźć macierz odwrotną do \(\displaystyle{ A}\) . To odsyłam do 1.

4. w czym problem? najlepiej "rozwijać" względem wiersza/kolumny o największej ilości zer.
Np. f) - rozwinę względem drugiej kolumny.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&1&2&12\\2&0&1&1&4\\2&1&1&-1&3\\3&2&-1&1&8\\1&1&1&0&6\end{vmatrix} = 0\cdot (-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}2&1&1&4\\2&1&-1&3\\3&-1&1&8\\1&1&0&6\end{vmatrix} + 0\cdot (-1)^{2+2}\cdot ... - 1\cdot \\ \\ \\ \cdot \begin{vmatrix}1&1&2&12\\2&1&1&4\\3&-1&1&8\\1&1&0&6\end{vmatrix} + 2\cdot \begin{vmatrix}1&1&2&12\\2&1&1&4\\2&1&-1&3\\1&1&0&6\end{vmatrix} - 1\cdot \begin{vmatrix}1&1&2&12\\2&1&1&4\\2&1&-1&3\\3&-1&1&8\end{vmatrix} = \\ \\ \\ = - 1\cdot \begin{vmatrix}1&1&2&12\\2&1&1&4\\3&-1&1&8\\1&1&0&6\end{vmatrix} + 2\cdot \begin{vmatrix}1&1&2&12\\2&1&1&4\\2&1&-1&3\\1&1&0&6\end{vmatrix} - 1\cdot \begin{vmatrix}1&1&2&12\\2&1&1&4\\2&1&-1&3\\3&-1&1&8\end{vmatrix}}\)

[Dziubasek123]

Bardzo, bardzo, bardzo dziękuję !!!


Minęło kilka dni i już zdążyłam się pogubić w tych wszystkich macierzowych zapisach !