niezerowe rozwiązania w zależności od parametru

[agentspecjalny]

Zbadać, dla jakich wartości parametru a układy równań mają niezerowe rozwiązania.
wyznaczyć :

\(\displaystyle{ \begin{cases} 7 \cdot x_{1}+4 \cdot a \cdot x_{2}+9 \cdot x_{3} =0\\
4 \cdot x_{1}+5 \cdot x_{2} +3 \cdot a \cdot x_{3}=0\\
x_{1}+a \cdot x _{2}+3 \cdot x _{3}=0 \end{cases}}\)

nie bardzo wiem jak się do tego zabrać.
Myślałam o tym, że to nie może być układ Cramera bo dla takiego układu rozwiązania zawsze będą zerowe, więc myślałam żeby wyznacznik przyrównać do zera, ale coś mi się wydaje, że to może nie być wystarczające założenie ,

albo zrobić metodą eliminacji Gaussa i jak wyjdzie na końcu cośtam cośtam \(\displaystyle{ \cdot x_{3}=0}\) to to cośtam przyrównać do zera, ale też nie wiem czy to starczy xP

może są jakieś łatwiejsze i lepsze sposoby?
z góry dzięki

[chris_f]

Wiadomo, że gdy wyznacznik macierzy głównej będzie niezerowy, to jedynym rozwiązaniem będzie rozwiązanie zerowe.
A zatem, tak jak przypuszczałeś, wyznacznik macierzy głównej musi być równy zeru.
Obliczasz, przyrównujesz do zera, wyznaczasz wartości parametru.
I to byłby koniec, możesz jedynie (gdyby to było potrzebne) podstawić wyznaczoną wartość \(\displaystyle{ a}\) i znaleźć jakieś rozwiązanie niezerowe (będzie ich nieskończenie wiele) - ale z treści to nie wynika.

[agentspecjalny]

Dziekuję! zastanawiałam się czy to jest dobrze, bo nie wiedziałam czy mamy pewność , że jeśli wyznacznik głowny=0 to rozwiązania zawsze będą niezerowe.

[chris_f]

To wynika natychmiast z tw. Kroneckera-Capellego (jest to ogólniejsza wersja tw. Gaussa) - pewnie będziesz to miała niedługo.