Witam, proszę o wskazówkę w rozwiązaniu następujących zadań:
1. Dla macierzy nieosobliwej A udowodnić, że \(\displaystyle{ det(A^{-1})=(detA)^{-1}}\)
2. Niech \(\displaystyle{ A \neq 0}\), \(\displaystyle{ B \neq 0}\) będą macierzami stopnia n. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ AB=0}\), to obie macierze są osobliwe. ( próbowałam użyć Twierdzenia Cauchy'ego, o ile wiem dlaczego \(\displaystyle{ detAB=0}\) to nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ detA}\) i \(\displaystyle{ det B}\)równocześnie muszą mieć wartość 0)
3. Dla macierzy kwadratowych nieosobliwych A, B, udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ (AB)^{-1} i (AB)^{-1}={B}^{-1}*A^{-1}}\)
z góry dziękuję za pomoc.
Macierze nieosobliwe i osobliwe
-
peggysue1993
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 11:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
-
Koryfeusz
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 16 razy
Macierze nieosobliwe i osobliwe
1)
\(\displaystyle{ A \cdot A^{-1}=I \Rightarrow |A \cdot A^{-1}| = |I|=1}\)
Z tw. Cauchego zaś dostajemy:
\(\displaystyle{ |A \cdot A^{-1}|=|A| \cdot |A^{-1}| \Rightarrow |A| \cdot |A^{-1}| =1 \Rightarrow |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}}\)
2) Jeśli \(\displaystyle{ A \cdot B=0}\) to oznacza, że macierz \(\displaystyle{ A \cdot B}\) jest osobliwa, jako macierz zerowa. Jak udowodniono w zadaniu 3) nie istnieje więc macierz odwrotna do niej, czyli nie istnieje też iloczyn macierzy odwrotnych \(\displaystyle{ B^{-1} \cdot A^{-1}}\), który dałby macierz odwrotną do \(\displaystyle{ A \cdot B}\). A to oznacza, że i macierze A i B nie mają macierzy odwrotnych, czyli obie są osobliwe.
3) Zgodnie z tw. Cauchego wyznacznik iloczynu dwóch macierzy nieosobliwych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest różny od zera a więc macierz \(\displaystyle{ A \cdot B}\) będąca takim iloczynem też musi być nieosobliwa, więc posiada i macierz odwrotną \(\displaystyle{ (A \cdot B)^{-1}}\). Następnie mamy:
\(\displaystyle{ (A \cdot B)(B^{-1} \cdot A^{-1})=A \cdot (B \cdot B^{-1}) \cdot A^{-1}=A \cdot I \cdot A^{-1}=I \\
(B^{-1} \cdot A^{-1})(A \cdot B) = B \cdot (A \cdot A^{-1}) \cdot B^{-1}=B \cdot I \cdot B^{-1}=B \cdot B^{-1}=I}\)
Stąd wynika, że iloczyn \(\displaystyle{ B^{-1} \cdot A^{-1}}\) jest równy macierzy odwrotnej macierzy tworzonej przez iloczyn \(\displaystyle{ A \cdot B}\), czyli macierzy \(\displaystyle{ (A \cdot B)^{-1}}\).
\(\displaystyle{ A \cdot A^{-1}=I \Rightarrow |A \cdot A^{-1}| = |I|=1}\)
Z tw. Cauchego zaś dostajemy:
\(\displaystyle{ |A \cdot A^{-1}|=|A| \cdot |A^{-1}| \Rightarrow |A| \cdot |A^{-1}| =1 \Rightarrow |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}}\)
2) Jeśli \(\displaystyle{ A \cdot B=0}\) to oznacza, że macierz \(\displaystyle{ A \cdot B}\) jest osobliwa, jako macierz zerowa. Jak udowodniono w zadaniu 3) nie istnieje więc macierz odwrotna do niej, czyli nie istnieje też iloczyn macierzy odwrotnych \(\displaystyle{ B^{-1} \cdot A^{-1}}\), który dałby macierz odwrotną do \(\displaystyle{ A \cdot B}\). A to oznacza, że i macierze A i B nie mają macierzy odwrotnych, czyli obie są osobliwe.
3) Zgodnie z tw. Cauchego wyznacznik iloczynu dwóch macierzy nieosobliwych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest różny od zera a więc macierz \(\displaystyle{ A \cdot B}\) będąca takim iloczynem też musi być nieosobliwa, więc posiada i macierz odwrotną \(\displaystyle{ (A \cdot B)^{-1}}\). Następnie mamy:
\(\displaystyle{ (A \cdot B)(B^{-1} \cdot A^{-1})=A \cdot (B \cdot B^{-1}) \cdot A^{-1}=A \cdot I \cdot A^{-1}=I \\
(B^{-1} \cdot A^{-1})(A \cdot B) = B \cdot (A \cdot A^{-1}) \cdot B^{-1}=B \cdot I \cdot B^{-1}=B \cdot B^{-1}=I}\)
Stąd wynika, że iloczyn \(\displaystyle{ B^{-1} \cdot A^{-1}}\) jest równy macierzy odwrotnej macierzy tworzonej przez iloczyn \(\displaystyle{ A \cdot B}\), czyli macierzy \(\displaystyle{ (A \cdot B)^{-1}}\).
-
peggysue1993
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 11:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa