Dana jest macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-4&3,5\\-4&4&-5\\3,5&-5&4\end{array}\right]}\)
Należy znaleźć wartości własne i wektory własne.
Wartości własne umiem znaleźć (ręcznie + mathcad)
wyszło mi:
\(\displaystyle{ \lambda _{1} = -1,095}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{3} = 12,095}\)
Za pomocą Mathcada wiem jak znaleźć wektory własne , ale nie za bardzo potrafię sobie poradzić z obliczeniem tego ręcznie. Proszę o pomoc w zrozumieniu
I PS. może to kluczowe a może nie. W poleceniu było znaleźć wersory własne i sprawdzić ortogonalność wektorów własnych, więc proszę o pomoc ze znalezieniem ich(wersorów). Ortogonalność sprawdzić umiem.
Wektory własne
Wektory własne
(nie wiem, czy to o to chodzi) wersor własny to pewnie wektor własny podzielony przez swoją długość (tak otrzymany wektor jest długości 1), a wartości własne zawsze liczyłem ręcznie (czyli macierz na wektor = \(\displaystyle{ \lambda}\) wektor), jak wychodziły jakieś "brzydkie" (np. niecałkowite) liczby, to trudno.
pozdrawiam
pozdrawiam
-
Koryfeusz
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 16 razy
Wektory własne
Wektory własne to taka grupa wektorów, która dla danego przekształcenia liniowego definiowanego przez macierz \(\displaystyle{ A}\) nie zmienia swojego kierunku ale jedynie swoją długość. To z kolei wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ A \cdot w = \lambda \cdot w}\)
gdzie \(\displaystyle{ w}\) - wektor własny a \(\displaystyle{ \lambda}\) to skojarzona z nim liczba, czyli jego wartość własna (modyfikator jego długości w przekształceniu)
Równość tą można przekształcić do równoważnej postaci:
\(\displaystyle{ (A-\lambda \cdot I) \cdot w=0}\)
z którego znając już \(\displaystyle{ \lambda}\) wyliczysz współrzędne wektora \(\displaystyle{ w}\), które będą zwykle parametryczne, bo jest to cała podprzestrzeń wektorów własnych danego \(\displaystyle{ \lambda}\).
Nadmieniam, że powyższe jest prawdą dla jednokrotnych wartości \(\displaystyle{ \lambda}\), bo gdy są one wielokrotne to zachodzi potrzeba znalezienia jeszcze tzw. wektorów głównych.
Na przykład dla \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) układ równań wyglądałby w ten sposób:
\(\displaystyle{ A-\lambda \cdot I=\left(
\begin{array}{ccc}
3-0 & -4 & 3,5 \\
-4 & 4-0 & -5 \\
3,5 & -5 & 4-0 \\
\end{array}
\right);w=\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right); \\
(A-\lambda \cdot I) \cdot w = 0 \\
w=\left(
\begin{array}{c}
-1,5 \cdot t \\
-0,25 \cdot t \\
t \\
\end{array}
\right); t \in R \\}\)
Więc jeden z członków zbioru wektorów \(\displaystyle{ w}\) to na przykład \(\displaystyle{ \left(
\begin{array}{c}
-\frac{3}{2} \\
-\frac{1}{4} \\
1\\
\end{array}
\right)}\)
\(\displaystyle{ A \cdot w = \lambda \cdot w}\)
gdzie \(\displaystyle{ w}\) - wektor własny a \(\displaystyle{ \lambda}\) to skojarzona z nim liczba, czyli jego wartość własna (modyfikator jego długości w przekształceniu)
Równość tą można przekształcić do równoważnej postaci:
\(\displaystyle{ (A-\lambda \cdot I) \cdot w=0}\)
z którego znając już \(\displaystyle{ \lambda}\) wyliczysz współrzędne wektora \(\displaystyle{ w}\), które będą zwykle parametryczne, bo jest to cała podprzestrzeń wektorów własnych danego \(\displaystyle{ \lambda}\).
Nadmieniam, że powyższe jest prawdą dla jednokrotnych wartości \(\displaystyle{ \lambda}\), bo gdy są one wielokrotne to zachodzi potrzeba znalezienia jeszcze tzw. wektorów głównych.
Na przykład dla \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) układ równań wyglądałby w ten sposób:
\(\displaystyle{ A-\lambda \cdot I=\left(
\begin{array}{ccc}
3-0 & -4 & 3,5 \\
-4 & 4-0 & -5 \\
3,5 & -5 & 4-0 \\
\end{array}
\right);w=\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right); \\
(A-\lambda \cdot I) \cdot w = 0 \\
w=\left(
\begin{array}{c}
-1,5 \cdot t \\
-0,25 \cdot t \\
t \\
\end{array}
\right); t \in R \\}\)
Więc jeden z członków zbioru wektorów \(\displaystyle{ w}\) to na przykład \(\displaystyle{ \left(
\begin{array}{c}
-\frac{3}{2} \\
-\frac{1}{4} \\
1\\
\end{array}
\right)}\)
-
crimlee
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 28 sty 2009, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 39 razy
Wektory własne
No dobra, to jeżeli to wszystko zależy od parametru to dlaczego Mathcad podaje mi automatycznie jednoznaczne wektory? Otrzymałem takie wyniki:
\(\displaystyle{ w _{1} =\left( \begin{array}{c} 0.258 \\ 0.772 \\ 0.58 \\ \end{array} \right)}\)
\(\displaystyle{ w _{2} =\left( \begin{array}{c} -0.824 \\ -1.137 \\ 0.549 \\ \end{array} \right)}\)
\(\displaystyle{ w _{3} =\left( \begin{array}{c} 0.504 \\ -0.62 \\ 0.601 \\ \end{array} \right)}\)
Z tego co rozumiem, to wektory własne powinny tworzyć jakąś rodzinę rozwiązań, tzn, że istniałoby ich nieskończenie wiele dla danej wartości własnej? Dobrze rozumiem?
No i temat wersorów. W takim razie np
\(\displaystyle{ v _{i} = \frac{ \vec{w _{i} } }{\left| \left| \vec{w _{i} } \right| \right| }}\)
Czyli dla pierwszego wektora własnego
\(\displaystyle{ v _{1} = \frac{1}{0.99947} \cdot \left( \begin{array}{c} 0.258 \\ 0.772 \\ 0.58 \\ \end{array} \right)}\)
Rozumiem, że długość tego wektora jest jednostkowa, tylko ze względu na przybliżenia wyszła taka wartość. Czyli te wektory własne są od razu wersorami? Czy to taka reguła?
\(\displaystyle{ w _{1} =\left( \begin{array}{c} 0.258 \\ 0.772 \\ 0.58 \\ \end{array} \right)}\)
\(\displaystyle{ w _{2} =\left( \begin{array}{c} -0.824 \\ -1.137 \\ 0.549 \\ \end{array} \right)}\)
\(\displaystyle{ w _{3} =\left( \begin{array}{c} 0.504 \\ -0.62 \\ 0.601 \\ \end{array} \right)}\)
Z tego co rozumiem, to wektory własne powinny tworzyć jakąś rodzinę rozwiązań, tzn, że istniałoby ich nieskończenie wiele dla danej wartości własnej? Dobrze rozumiem?
No i temat wersorów. W takim razie np
\(\displaystyle{ v _{i} = \frac{ \vec{w _{i} } }{\left| \left| \vec{w _{i} } \right| \right| }}\)
Czyli dla pierwszego wektora własnego
\(\displaystyle{ v _{1} = \frac{1}{0.99947} \cdot \left( \begin{array}{c} 0.258 \\ 0.772 \\ 0.58 \\ \end{array} \right)}\)
Rozumiem, że długość tego wektora jest jednostkowa, tylko ze względu na przybliżenia wyszła taka wartość. Czyli te wektory własne są od razu wersorami? Czy to taka reguła?
-
Koryfeusz
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 16 razy
Wektory własne
W programie Mathcad otrzymasz jeden przykład wektora własnego dla danej wartości własnej ponieważ jest to program do obliczeń numerycznych a nie symbolicznych. Jednakże ogólnie istnieje nieskończenie wiele wektorów własnych dla danego \(\displaystyle{ \lambda}\), czyli wektorów o niezmiennych w przekształceniu liniowym \(\displaystyle{ A}\) kierunkach rozłożonych w różnych punktach przestrzeni (tutaj wymiar n=3), które tworzą liniową podprzestrzeń wektorów własnych dla danego \(\displaystyle{ \lambda}\). Dla przykładu wyliczony przeze mnie wzór ogólny na wektory własne \(\displaystyle{ w}\) generuje wektory:
\(\displaystyle{ [ -\frac{3}{2} \ -\frac{1}{4} \ 1] \ (t=1) , \ [ \frac{3}{2} \ \frac{1}{4} \ -1] \ (t=-1) \ itd.}\)
Ogólnie zauważ, że iloczyn wektora własnego przez liczbę daje również wektor własny a także suma dwóch wektorów własnych jest też wektorem własnym należącym do podprzestrzeni liniowej generowanej przez \(\displaystyle{ \lambda}\).
Nawiasem mówiąc (to chyba będzie kolejny etap zastosowań wartości i wektorów własnych) służą one do przekształcania przez podobieństwo macierzy do specjalnych postaci np. Jordana, które umożliwiają różne rzeczy, przykładowo wygodnie obliczanie wartości funkcji macierzowych.
Aha, jeszcze co do wersorów itp. - gdy macierz A jest podobna do jakiejś macierzy diagonalnej to zbiór wektorów własnych A tworzy bazę. Wektory własne różnych wartości własnych są liniowo niezależne.
\(\displaystyle{ [ -\frac{3}{2} \ -\frac{1}{4} \ 1] \ (t=1) , \ [ \frac{3}{2} \ \frac{1}{4} \ -1] \ (t=-1) \ itd.}\)
Ogólnie zauważ, że iloczyn wektora własnego przez liczbę daje również wektor własny a także suma dwóch wektorów własnych jest też wektorem własnym należącym do podprzestrzeni liniowej generowanej przez \(\displaystyle{ \lambda}\).
Nawiasem mówiąc (to chyba będzie kolejny etap zastosowań wartości i wektorów własnych) służą one do przekształcania przez podobieństwo macierzy do specjalnych postaci np. Jordana, które umożliwiają różne rzeczy, przykładowo wygodnie obliczanie wartości funkcji macierzowych.
Aha, jeszcze co do wersorów itp. - gdy macierz A jest podobna do jakiejś macierzy diagonalnej to zbiór wektorów własnych A tworzy bazę. Wektory własne różnych wartości własnych są liniowo niezależne.