Zbieżność metod iteracyjnych

[Borneq]

Mamy np. metodę iteracyjną Jacobiego.

Kod: Zaznacz cały

http://www.algorytm.org/procedury-numeryczne/metoda-jacobiego.html

Na jakiej podstawie określić, czy jest zbieżna?. W jaki sposób zakończyć obliczenia dla zbieżnej - czy gdy wyniki mało się od siebie różnią, poprzedni z następnym?
Co gdy mamy daną taką macierz, że metoda nie jest zbieżna? Czy jest możliwość przekształcenia? Co gdy macierz i wektor podzielimy przez jakąś liczbę?

[Koryfeusz]

W komentarzach pod tym linkiem pisze , że macierz A ma być diagonalnie dominująca, aby metoda Jacobiego była zbieżna. Macierz diagonalnie dominująca to taka, w której w każdym wierszu wartość bezwzględna jego elementu diagonalnego jest większa od sumy wartości bezwzględnych wszystkich pozostałych elementów tego wiersza. Taką macierz można jednak uzyskać przez zamianę miejscami wierszy w macierzy A.

Ponadto diagonalna dominacja to warunek wystarczający zbieżności metody Jacobiego a więc istnieją szczególne przypadki macierzy niezdominowanych przekątniowo, dla których ta metoda jest jednak zbieżna.