Wymiary podprzestrzeni

[dakwh]

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{W}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{U}}\) beda podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{V}}\) i \(\displaystyle{ dim \mathbb{V} = n}\)
w jaki sposob udowodnic znajac taka zaleznoc \(\displaystyle{ dim \mathbb{W} + dim \mathbb{U} > n}\) to istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\) nalezacy do obu podprzestrzeni
i czy taki dowod tez jest prawdziwy jezeli \(\displaystyle{ dim \mathbb{W} + dim \mathbb{U} = n}\)

[scyth]

1. np. przez bazy. Pierwsza przestrzeń ma \(\displaystyle{ n_1}\) wektorów niezależnych, druga ma \(\displaystyle{ n_2}\) oraz \(\displaystyle{ n_1+n_2>n}\), zatem wektory z obu baz razem nie są liniowo niezależne (bo pochodzą z przestrzeni n-wymiarowej).

2. Nie, np. \(\displaystyle{ U}\) to przestrzeń generowana przez \(\displaystyle{ (1,0)}\), \(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń generowana przez \(\displaystyle{ (0,1)}\).