Znaleźć przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi : R^{4} \rightarrow R^{3}}\) takie, że:
\(\displaystyle{ ker\phi=\left\{ \left( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R^{4} \right) ; x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}=0\right\}}\) i \(\displaystyle{ \phi\left( 1,1,1,1\right)=\left( 0,4,8\right)}\)
Wie ktoś jak to zrobić? Męczę się już dłuższy czas i na nic nie wpadłem.
Przekształcenie liniowe
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Przekształcenie liniowe
\(\displaystyle{ (1,1,1,-3)\in \ker\phi\\\\
\phi(1,1,1,-3)=(0,0,0)=\phi(1,1,1,1)-\phi(0,0,0,4)=(0,4,8)-4\cdot\phi(0,0,0,1) \Rightarrow\\\\ \Rightarrow \phi(0,0,0,1)=(0,1,2)}\)
analogicznie wyznaczamy pozostałe:
\(\displaystyle{ \phi(0,0,1,0)=\phi(0,1,0,0)=\phi(1,0,0,0)=(0,1,2)}\)
więc dostajemy:
\(\displaystyle{ \phi(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1\cdot \phi(1,0,0,0)+x_2\cdot \phi(0,1,0,0)+\\\\+x_3\cdot \phi(0,0,1,0)+x_4\cdot \phi(0,0,0,1)=(x_1+x_2+x_3+x_4)\cdot (0,1,2)}\)
\phi(1,1,1,-3)=(0,0,0)=\phi(1,1,1,1)-\phi(0,0,0,4)=(0,4,8)-4\cdot\phi(0,0,0,1) \Rightarrow\\\\ \Rightarrow \phi(0,0,0,1)=(0,1,2)}\)
analogicznie wyznaczamy pozostałe:
\(\displaystyle{ \phi(0,0,1,0)=\phi(0,1,0,0)=\phi(1,0,0,0)=(0,1,2)}\)
więc dostajemy:
\(\displaystyle{ \phi(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1\cdot \phi(1,0,0,0)+x_2\cdot \phi(0,1,0,0)+\\\\+x_3\cdot \phi(0,0,1,0)+x_4\cdot \phi(0,0,0,1)=(x_1+x_2+x_3+x_4)\cdot (0,1,2)}\)