Uzasadnij, dlaczego zbiór jest podprzestrzenią liniową...

[Dartam]

Witam!

Mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie zbiorem wszystkich wielomianów rzeczywistych \(\displaystyle{ w(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\) takich, że \(\displaystyle{ w(−1) = 0.}\)
(a) Uzasadnij, dlaczego zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej wszystkich wielomianów rzeczywistych stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\).
(b) Opisz postać wielomianów należących \(\displaystyle{ W}\). Podaj bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ W}\).

Pomoże mi ktoś wyjaśnić jak wykonać to zadanie?

[szw1710]

\(\displaystyle{ W=\{(x-1)(ax+b):a,b\in\RR\}}\) A więc \(\displaystyle{ W}\) jest dwuwymiarowa. To, że jest podprzestrzenią, wynika z faktu, że różnica dwóch wielomianów z \(\displaystyle{ W}\) należy do \(\displaystyle{ W}\), także iloczyn wielomianu z \(\displaystyle{ W}\) przez liczbę należy do \(\displaystyle{ W}\). Możesz ten opis słowny teraz sformalizować.

[dakwh]

po czym wnosimy ze jest dwuwymiarowa?

[szw1710]

Po liczbie parametrów.

[dakwh]

a moglbys powiedziec z jakiego twierdzenia to wynika?

[szw1710]

To się po prostu czuje. Przecież przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej dwa jest trójwymiarowa. Są trzy parametry. Bardziej formalnie, to wielomiany \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\) rozpinają tę przestrzeń i są liniowo niezależne. W omawianej przestrzeni mamy dwa parametry, co wskazuje na dwuwymiarowość. Znajdź dwa wielomiany tej przestrzeni, które ją rozpinają i są liniowo niezależne. Np. \(\displaystyle{ (x-1)\cdot 1}\) oraz \(\displaystyle{ (x-1)\cdot x}\).