Witam!
Mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie zbiorem wszystkich wielomianów rzeczywistych \(\displaystyle{ w(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\) takich, że \(\displaystyle{ w(−1) = 0.}\)
(a) Uzasadnij, dlaczego zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej wszystkich wielomianów rzeczywistych stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\).
(b) Opisz postać wielomianów należących \(\displaystyle{ W}\). Podaj bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ W}\).
Pomoże mi ktoś wyjaśnić jak wykonać to zadanie?
Uzasadnij, dlaczego zbiór jest podprzestrzenią liniową...
Uzasadnij, dlaczego zbiór jest podprzestrzenią liniową...
\(\displaystyle{ W=\{(x-1)(ax+b):a,b\in\RR\}}\) A więc \(\displaystyle{ W}\) jest dwuwymiarowa. To, że jest podprzestrzenią, wynika z faktu, że różnica dwóch wielomianów z \(\displaystyle{ W}\) należy do \(\displaystyle{ W}\), także iloczyn wielomianu z \(\displaystyle{ W}\) przez liczbę należy do \(\displaystyle{ W}\). Możesz ten opis słowny teraz sformalizować.
Uzasadnij, dlaczego zbiór jest podprzestrzenią liniową...
To się po prostu czuje. Przecież przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej dwa jest trójwymiarowa. Są trzy parametry. Bardziej formalnie, to wielomiany \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\) rozpinają tę przestrzeń i są liniowo niezależne. W omawianej przestrzeni mamy dwa parametry, co wskazuje na dwuwymiarowość. Znajdź dwa wielomiany tej przestrzeni, które ją rozpinają i są liniowo niezależne. Np. \(\displaystyle{ (x-1)\cdot 1}\) oraz \(\displaystyle{ (x-1)\cdot x}\).