liniowa zależność wektorów

[gonadotropin]

czy dobrze rozumiem, że jeżeli są wektory
\(\displaystyle{ a=[2,3], b=[-2,4]}\) to są one liniowo niezależne bo:
\(\displaystyle{ [2 \cdot \alpha_1 + 3 \cdot \alpha_1] + [-2 \cdot \alpha_1 + 4 \cdot \alpha_2] = [0,0]}\)
i teraz robimy układ równań czyli
\(\displaystyle{ 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2=0}\)
i wychodzi że
\(\displaystyle{ \alpha_1 = \alpha_2 = 0}\)
i dlatego są liniowo niezależne?
a jeżeli alpha1 nie równa się alpha2 ? albo równają się sobie, ale nie równają się 0, tylko np. 3?

i drugie pytanie. jeżeli mamy więcej wektorów, np. \(\displaystyle{ a[1,2,3], b[3,2,1], c[4,4,5]}\)
to łatwiej to rozwiązać za pomocą macierzy-> obliczyć wyznacznik i teraz jeżeli wyznacznik tej macierzy jest różny od 0 to wektory są liniowo niezależne, a jeżeli jest równy 0 to wektory są liniowo zależne?

i trzecie pytanie.

jeżeli jest tyle samo niewiadomych co wyników (liczb po znaku równa się w układzie równań, np. wektory \(\displaystyle{ a[1,2,3], b[3,2,1], c[4,4,5]}\)) to czy autmoatycznie są to wektory liniowo niezależne? bo jak by rozwiązać ten układ równań za pomocą kramera to każda z niewiadomych wyjdzie 0. np:

\(\displaystyle{ x+3y+4z=0\\
2x+2y+4z=0\\
3x+y+5z=0}\)

bo rozw. z cramera bedzie wyglądać tak

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}{1& 3& 4 &|& 0 \\
2 &2 &4 &| &0 \\
3& 1& 5 &| &0\end{bmatrix}}\)

no i automatycznie każda niewiadoma wyjdzie 0...