Dla czworościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ A\left( 0, 1, 2 \right), B\left( 3, 2, 1\right), C \left( -1, 0, 2 \right), D\left( 2, 3, 3 \right)}\) wyznaczyć:
a) miarę kąta między ścianami czworościanu zawierającą punkty A, B, C, a prostą na której leżą wierzchołki A i D
b) miarę kąta między wysokością wychodzącą z wierzchołka A w trójkącie ABC, a ścianą tego czworościanu zawierającą wierzchołki B, C, D.
a) \(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ 3, 1, -1 \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} = \left[ -1, -1, 0 \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC} = \left[ -1, 1, -2\right] = \vec{n}}\) Jest to wektor prostopadły do płaszczyzny ABC, więc płaszczyznę ABC mogę zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ H: \begin{cases} x = -1 -t \\ y = -1 -t \\ z = -2t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AD} = \vec{v} = \left[ 2, 2, 1\right]
sin\alpha = \frac{\left| \vec{v}\circ \vec{n} \right| }{\left| \vec{v} \right| \left| \vec{n} \right| } = \frac{ \sqrt{6}}{3}}\)
Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} }{9}}\) Ja robię coś źle, czy błąd w odpowiedzi? + Prosiłbym o podpowiedź do punktu B