Ustal rząd macierzy A w zależności od parametru

[lolita53]

Ustal rząd A w zależności od parametru

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\1&-1&a&1&0\\1&a&0&-1&1\\a&0&1&1&1\end{array}\right]}\)

Niestety nie robiliśmy z naszym panem takich rzeczy. Znalazłam w książce przykłady jak liczyć tego typu zadania, ale na macierzach o mniejszych wymiarach. Wyszło mi, że RankA=3 dla \(\displaystyle{ a\in R}\), ale nie jestem pewna...

Najpierw policzyłam wyznacznik minora o wymiarze 4 (powstałego przez wykreślenie pierwszej kolumny). I wyszło mi \(\displaystyle{ (a-1)^{2}}\) i to ma być różne \(\displaystyle{ \neq}\) 0 więc \(\displaystyle{ {a} \neq {1}}\)
ale gdy podstawiam a=4, aby policzyć kolejny wyznacznik i liczę metodą gaussa też wychodzi 4, co wg podręcznika, z którego korzystałam, jest możliwe. W każdym razie, chciałam się upewnić, czy jest to dobrze, bo nie mam odpowiedzi...

[Hassgesang]

Pokaż jak liczysz, wyznacznik tego minora:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&3&4&5\\-1&a&1&0\\a&0&-1&1\\0&1&1&1\end{array}\right]}\)

wynosi \(\displaystyle{ (a-5)(a+1)}\).

[lolita53]

Hmmm znalazłamm jeden błąd rachunkowy, ale i tak nie wychodzi mi (a-5)(a+1), tylko \(\displaystyle{ {a}^{2} - 6a + 6)}\)

A więc jak liczę det tego minora = 2det \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&1&0\\0&-1&1\\1&1&1\end{array}\right]}\) + det \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&4&5\\0&-1&1\\1&1&1\end{array}\right]}\) + a det\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&4&5\\a&1&0\\1&1&1\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ 2 *( (-2)a + 1 ) + 3 + a * (-2 + a) = {a}^{2} - 6a + 6}\)

hmmm muszę gdzieś mieć błąd, bo nie możliwe, że takie brzydkie liczby wychodzą...