Sprawdź liniową zależność wektorów

[MagusDrDee]

Sprawdź liniową zależność wektorów \(\displaystyle{ x^{2}-2x, x^{2}+2, x+2}\) w przestrzeni wielomianów stopnia nie wyższego niż drugi.

Zapisuję kombinację liniową
\(\displaystyle{ a(x^{2}-2x)+b(x^{2}+2)+c(x+2)=0}\) i co dalej powinienem zrobić?

[bartek118]

Kiedy wielomian jest identycznościowo równy 0?

[MagusDrDee]

Czyli wystarczy, że napiszę
\(\displaystyle{ a(x^{2}-2x)+b(x^{2}+2)+c(x+2)=0 \Leftrightarrow a=0 \wedge b=0 \wedge c=0}\)?

[bartek118]

Nie. Wymnóż to najpierw i wypisz wszystkie te współczynniki.

[MagusDrDee]

Przemnożyłem i sprowadziłem do postaci \(\displaystyle{ x^{2}(a+b) + x(-2a+c) + 2b + 2c = 0}\)
Tworzę układ \(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=0 \\ -2a+c=0 \\ 2b+2c=0 \end{cases}}\)
Z tego otrzymuję \(\displaystyle{ a=0, b=0, c=0}\)
Zatem wektory są liniowo niezależne.
Jest poprawnie?

[bartek118]

Teraz tak