Równania macierzowe, doprowadzanie do układu cramerowskiego

[vuvuzela100]

Witam, prosiłbym o pomoc w zrozumieniu pewnych kwestii przy równaniach macierzowych. Weźmy sobie na przykład taki układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x + y + 2z = 5\\x + y + z = 3\\2x + y - z = 2\\x + z = 2 \end{array}}\)

Interesuje mnie oczywiście rozwiązanie tego układu przy pomocy macierzy.
Schemat wygląda tak:

1) Macierz współczynników, macierz wyrazu wolnego, łączymy je i wyznaczamy z nowej macierzy uzupełnionej rząd
2) Twierdzenie Croeneckera-Kappellego
3) Wnioskujemy z końcowej fazy przy obliczaniu rzędu macierzy które równanie jest zbędne i je odrzucamy
4) Nowa macierz współczynników, z niej wyznacznik i wzory Cramera

Mam wątpliwości do pkt. 3 ale po kolei:

\(\displaystyle{ A_{u} = \left[ \begin{array}{llll} 2 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ rzA_{u} = \left[ \begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = 3}\)

Nie pamiętam jak nazywała się taka metoda obliczania rzędu macierzy, zerowanie macierzy? W każdym razie jest to najmniej istotne pytanie ze wszystkich.

Czy ja dobrze myślę, że mając macierz doprowadzoną do takiej postaci możemy wywnioskować, że równanie drugie od góry jest zbędne i możemy je wykreślić (bo w tym wierszu są same zera więc to równanie nic nie wnosi), dzięki czemu nowa macierz współczynników będzie na pewno miała współczynnik różny od zera? Wtedy:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x + y + 2z = 5\\2x + y - z = 2\\x + z = 2 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ A' = \left[ \begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right]}\)

I współczynnik A' rzeczywiście jest \(\displaystyle{ \neq 0}\).

Pytam się bo próbowałem wyliczyć rząd tej macierzy tą samą metodą ale idąc inną drogą i wyszło mi wtedy coś takiego:

\(\displaystyle{ rzA_{u} = \left[ \begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = 3}\)

Gdzie zera są w ostatnim wierszu, a po wykreśleniu odpowiadającego mu równania wyznacznik nowej macierzy współczynników akurat jest równy zeru. Czy to o czym piszę rzeczywiście ma sens, tzn. jak w 'finalnej wersji' obliczania rzędu macierzy w którymś wierszu macierzy uzupełnionej występują same zera to równanie odpowiadające temu wierszowi można wywalić z układu równań? Czy jest to jakaś stała reguła czy może tylko jakaś sugestia, a jeśli tak to czy da się jakoś rozpoznać, czy usunięcie tego wierszu da cokolwiek przy rozwiązywaniu układu równań?


I jeszcze skoro mowa macierzach to prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze wszystko poprzenosiłem w tym równaniu macierzowym, co się kryje pod symbolami jest nieistotne:

\(\displaystyle{ B - 2XA= C}\)

\(\displaystyle{ B - C = 2XA}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (B - C) = \frac{1}{2} 2XA}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (B - C) = XA}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (B - C) A^{-1} = XAA^{-1}}\)

\(\displaystyle{ X = \frac{1}{2} (B - C)A^{-1}}\)

Zastanawia mnie czy mogę sobie tak swobodnie przerzucać wyrażenie z \(\displaystyle{ X}\) z jednej strony na drugą w celu pozbycia się minusa i czy poprawnie pozbyłem się \(\displaystyle{ 2}\) prz \(\displaystyle{ X}\) mnożąc obustronnie z lewej strony przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).