Liniowa niezależność wielomianów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
donmaciej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 25 kwie 2010, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Liniowa niezależność wielomianów

Post autor: donmaciej »

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ R[x] _{n}}\) zbiór wielomianów stopnia niewyższego niż o n o współczynnikach rzeczywistych, uzupełniony o wielomian zerowy. Niech \(\displaystyle{ f(x) \in R[x] _{n}}\). Wykazać, że wielomiany \(\displaystyle{ f_{0}(x) = f(x), f_{1}(x) = f(x+1),...,f_{n}(x) = f(x+n)}\) są liniowo niezależne.
szw1710

Liniowa niezależność wielomianów

Post autor: szw1710 »

Dowód liniowej niezależności jednomianów \(\displaystyle{ 1,x,x^2,\dots,x^n}\) przeprowadzamy w oparciu o wyznacznik Vandermonde'a. Mianowicie gdyby kombinacja liniowa jednomianów się zerowała identycznościowo, to miałaby co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) zer. Wstawiając te zera do wzoru na kombinację dostaniemy układ równań liniowych (jednorodny) z wyznacznkiem głównym Vandermonde'a czyli niezerowym. Miałby więc jedynie zerowe rozwiązanie.

Wydaje mi się, że podobnie zrobimy i Twoje zadanie przechodząc jakoś na wyznacznik Vandermonde'a. Powinieneś stosować znane własności wyznaczników - typu liniowość ze względu na wiersze czy kolumny.

Tak więc liniowa niezależność wielomianów, o które pytasz, wynika z liniowej niezależności jednomianów.
ODPOWIEDZ