Baza w przestrzeni liniowej

[Maszi]

Proszę o jak najprostrze wytłumaczenie mi tego na przykładzie:

Sprawdź, czy podane zbiory wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych

\(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,-1,4\right), \left( 3,0,1\right), \left( 2,1,-2\right)\right\}, R^{3}}\)

[Ptaq666]

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{array} \right| = 3}\)

więc wektory są niezależne, więc mogą stanowić bazę wspomnianej przestrzeni.

[Maszi]

Wystarczy tylko napisać że mogą stanowić bazę czy trzeba to jakoś udowodnić?

[Vardamir]

Jeżeli wektory są liniowo niezależne to mogą stanowić bazę.

A wektory są liniowo niezależne gdy \(\displaystyle{ \det(v_{1},\cdots ,v_{n}) \neq 0}\).

Czyli wystarczy policzyć wyznacznik tak jak zrobił to kolega powyżej.

[Maszi]

Ok to rozumiem

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{array} \right| = 3}\)

A ta 3 to co oznacza? To jest ten wyznacznik?

[Ptaq666]

Ok to rozumiem

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{array} \right| = 3}\)

A ta 3 to co oznacza? To jest ten wyznacznik?

No przykro mi, nie miałem pomysłu jak jeszcze bardziej jednoznacznie to zapisać.

Tak, to jest ten wyznacznik. Jest różny od zera, więc kolumny macierzy (a więc rozpatrywane wektory) są niezależne.

[Maszi]

Ok dzięki wielkie za pomoc

[smigol]

No przykro mi, nie miałem pomysłu jak jeszcze bardziej jednoznacznie to zapisać.

Ptaq666, podejrzewam, że Maszi nie wie co to jest wyznacznik i stąd ten problem.

Do rozwiązania tego zadania nie potrzeba wiedzieć co to jest wyznacznik. Sprawdzamy po prostu z definicji czy jest to bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).