Wartość wyznacznika macierzy

[iks2011]

Jakie wyznaczniki może mieć macierz A, aby dla dowolnej macierzy stopnia n zachodziła równość:
\(\displaystyle{ A^{4} = 9(A^{2})}\)

Wszystko fajnie, korzystając z Tw. Cauchy'ego i własności wyznaczników rozpisujemy:

\(\displaystyle{ A^{4} = 9(A^{2})}\)
\(\displaystyle{ det(A^{4}) = det[9(A^{2})]}\)
\(\displaystyle{ (detA)^{4} = 9^{n} \cdot det(A^{2})}\)
\(\displaystyle{ (detA)^{4} = 9^{n} \cdot (detA)^{2}}\)

Dalej próbowałem (nie jestem pewien, czy tak wolno, w przykładach, gdzie mamy podane wartości n [stopnie macierzy] się sprawdza) za detA podstawić x. I dochodzimy do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ x^{4} = 9^{n} \cdot x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{4} - x^{2} \cdot9^{n}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2} - 9^{n})}\)

I co dalej ? Co zrobić z tym 'n' ? Dla przykładów, gdzie mamy podane stopnie macierzy jest fajnie, tutaj mam jednak problem. Z góry dzięki za pomoc i zainteresowanie .

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2} - 9^{n})=0}\)

Więc \(\displaystyle{ x^2=0 \vee x^2-9^n=0}\), czego rozwiązaniem będzie: \(\displaystyle{ x=0 \vee x^2=9^n \Rightarrow x=3^n \vee x=-3^n}\)

Stąd \(\displaystyle{ \det A=0 \vee \det A = 3^n \vee \det A = -3^n}\)

[iks2011]

Na pewno z \(\displaystyle{ x^{2} - 9^{n}}\) wynika, że \(\displaystyle{ x=3^n \vee x=-3^n}\) ? Bo, rozpisując w drugą stronę:

\(\displaystyle{ (3^{n})^{2}}\) powinno dać \(\displaystyle{ 9^{n}}\), a wydaje mi się, czy daje \(\displaystyle{ 9^{2n}}\) ?

EDIT:
Ok, ok, masz rację, zamieszałem się trochę w potęgach .
Wielkie dzięki !