kolokwium, gal, mimuw

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Eloob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 27 wrz 2009, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Pacanowa

kolokwium, gal, mimuw

Post autor: Eloob »

Witam, znalazłem zadanie z ktorym nie do konca wiem co zrobić. Będę wdzięczny, jesli rzucicie okiem na moje rozwiazanie i pokazecie, gdzie zaczyna się kotłować
zadanie (kolokwium 2006, mimuw)
Niech \(\displaystyle{ V\subset \mathbb{R}^4}\)będzie przestrzenią rozwiazań układu równań \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
x_1+2x_2+x_3-x_4=0 \\
3x_1+7x_2+2x_3-3x_4=0\\
x_1 + x_2 +2x_3-x_4=0
\end{matrix}\right.}\)

a) Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni V.
b) Niech \(\displaystyle{ W= lin((s,1,1,s+3),(t,-2,-2,4),(-5,1,1,-2))}\). Dla jakich \(\displaystyle{ s,t \in \mathbb{R}}\) zachodzi równość V=W?

Moje rozwiązanie:
a)
Sprowadzam macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & -1\\
3 & 7 & 2 & -3\\
1 & 1 & 2 & -1
\end{bmatrix}}\)
do postaci schodkowej zredukowanej (zeruje się jeden wiersz) ; zostaje \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
0 & 1 & -1 & 2
\end{bmatrix}}\)
,czyli \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_4-2x_3, -2x_4+x_3,x_3,x_4)=x_3(-2,1,1,0)+x_4(-1,-2,0,1)}\) stąd bazą przestrzenie rozwiązan ukladu jest \(\displaystyle{ (-2,1,1,0),(-1,-2,0,1)}\) i wymiar jest równy 2.
b) Tutaj nie wiem co mam robić, tzn.: wrzucam w macierz, sprowadzam do postaci schodkowej, zostaje mi w pierwszych niezerowych wyrazach każdego wiersza macierzy wyrazenie w zależnosci od t i s, ale co dalej? Czy baza W ma być równa bazie V? Czy t i s mają się w macierzy poredukować? Jak rozumieć taką treść, jaki jest algorytm postępowania (oprocz wrzucenia w macierz)? Z góry dziękuję i pozdrawiam
ODPOWIEDZ