dziwne równanie

[leszczu450]

Cześć : )

Mam do rozwiązania takie zadanie:

\(\displaystyle{ A^{2}= I_{2}}\)

Chodzi oczywiscie o macierze : ) A jest kwadratowa i \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) i \(\displaystyle{ I_{2}= \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

Robie tak:
\(\displaystyle{ A^{2}=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}a^{2}+bc &ab+bd\\ca+cd&d^{2}+bc \end{array}\right]}\)

Teraz przyrównuje i w sumie to problem sprowadza sie do tego, ze nie umiem rozwiazac tego ukladu równań:
\(\displaystyle{ a^{2}+bc = 1 \\ ab+bd=0 \\ ca+cd=0 \\ d^{2}+bc=1}\)

Prosze o pomoc i wmiare normalny sposob rozwiazywania tego typu ukladow : )

[kamil13151]

Pierwsze minus czwarte \(\displaystyle{ a^2=d^2 \iff \left( a=d \vee a=-d\right)}\). Rozpatrz teraz dwa przypadki, będzie prościej.

[leszczu450]

Nadal nie wiem co z tym zrobić, dochodze do takich postaci równań z których nic nie wnioskuje.`

[kamil13151]

Niech \(\displaystyle{ d=a}\), do rozpatrzenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+bc=1 \\ ab+ab=0 \\ ac+ac=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a^2+bc=1 \\ ab=0 \\ ac=0 \end{cases}}\)

Z drugiego mamy \(\displaystyle{ ab=0 \iff \left( a=0 \vee b=0\right)}\)

To teraz dla \(\displaystyle{ a=0}\) mamy: \(\displaystyle{ bc=1 \iff c= \frac{1}{b}}\).

Zatem jednym z rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d \right) = \left( 0,b, \frac{1}{b},0 \right)}\).

Dalej już chyba wiadome jak rozwiązywać? Teraz dla \(\displaystyle{ b=0}\), a potem znów od początku dla \(\displaystyle{ d=-a}\).

[leszczu450]

Dzieki wielkie ! : ) O taka pomoc mi chodzilo : )

Jesli jeszcze masz chwile, to moglbys mi mniej wiecej wytlumaczyc istote szukania macierzy przemiennych? Czesto dochodze do zawilych rownan z ktorych nagle wybrac musze kilka niewiadomych za parametry. Skad mam wiedziec kiedy cos jest parametrem i ile ma ich byc?

Pozdrawiam! : )

-- 18 lis 2012, o 16:14 --

kamil13151, gdy rozpatruje drugi przypadek dla \(\displaystyle{ a=-d}\) dochodze do tylko jednego równania \(\displaystyle{ a^{2}+bc=1}\) . Co mam dalej zrobić?-- 18 lis 2012, o 16:22 --Mam po prostu uznać \(\displaystyle{ b,c}\) za parametry i wyliczyć \(\displaystyle{ a}\) jako \(\displaystyle{ a=\pm \sqrt{1-bc}}\)

I uzyskam w ten sposób 2 rozwiązania:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\sqrt{1-bc}&b\\c&-\sqrt{1-bc}\end{array}\right] \vee \left[\begin{array}{cc}-\sqrt{1-bc}&b\\c&\sqrt{1-bc}\end{array}\right]}\)

[kamil13151]

wytlumaczyc istote szukania macierzy przemiennych?

Zgodnie z regulaminem musisz stworzyć nowy temat.


\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-d \\ a^{2}+bc=1 \end{cases}}\) Musisz wziąć dwie zmienne zależne, np. \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\).

Zatem:
\(\displaystyle{ a^{2}+bc=1 \iff c= \frac{1-a^2}{b}}\)

\(\displaystyle{ \left( a,b,c,d \right) = \left( a,b, \frac{1-a^2}{b},-a \right)}\)

Sprawdź jeszcze co dla \(\displaystyle{ b=0}\).

[leszczu450]

A moje rozwiazanie jest tez ok?

I czy moge wziąć sobie dowolną dwojke za zmienne zalezne?

[kamil13151]

I uzyskam w ten sposób 2 rozwiązania:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\sqrt{1-bc}&b\\c&-\sqrt{1-bc}\end{array}\right] \vee \left[\begin{array}{cc}-\sqrt{1-bc}&b\\c&\sqrt{1-bc}\end{array}\right]}\)

Nie bardzo rozumiem po co napisałeś te macierze?

[leszczu450]

No są to macierze które, dla dowolnych zmiennych \(\displaystyle{ b,c}\), po podniesieniu do kwadratu dadza mi macierz jednostkowa \(\displaystyle{ I_{2}}\) tak?-- 18 lis 2012, o 16:34 --Ale również musze rozważyć xo bedzie gdy iloczyn \(\displaystyle{ bc}\) bedzie mniejszy od zera. Ehh... Coraz ciezsze to zadanie..

[kamil13151]

Tak, zgadza się, te macierze są ok. Jeżeli masz wypisać wszystkie rozwiązania to współczuję .

[leszczu450]

A co mam zrobić gdy \(\displaystyle{ bc<1}\) ? Jak rozważyć wtedy ten przypadek?

[kamil13151]

Raczej nierówność w drugą stronę? Zobacz, że tym co rozpatrujesz rozwiązania mieć nie będzie.

[Nowy_splot]

Zatem jednym z rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d \right) = \left( 0,b, \frac{1}{b},0 \right)}\).
Dalej już chyba wiadome...

No zaraz zaraz. Ale przecież rozwiązaniem tego równania jest także macierz jednostkowa I, a także (-1)I. Też pomnożona przez siebie daje macierz jednostkową I. Więc to na pewno nie jest jedyne rozwiązanie. Także rozwiązaniami będą macierze [1,0,-1,0] oraz [-1,0,1,0], czyli odpowiadające odwzorowaniom przezucania symetrycznego, obrót o 180 stopni dla [-1,0,-1,0]. Tych rozwiązań jest dużo więcej.