baza przestrzeni, proste pytanie

[sulaw]

Nie rozumiem tego przykładu z książki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+2x _{2}+x _{3}+3x _{4}=0 \\2x _{1}+5x _{2} +4 _{3}+4x _{4}=0\\
x _{1}+3x _{2}+3x _{3} +x _{4} =0 \end{cases}}\)
Sprowadzamy macierz tego układu do zredukowanej postaci schodkowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&3&0\\2&5&4&4&0\\1&3&3&1&0\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&3&0\\0&1&2&-2&0\\0&1&2&-2&0\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-3&7&0\\0&1&2&-2&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Zatem układ \(\displaystyle{ U}\) jest równoważny układowi (od tego miejsca nie rozumiem):

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}-3x _{3}+x _{4}=0 \\x _{2}+2x _{3}-2x _{4}=0 \end{cases}}\)
i ma rozwiązanie ogólne
\(\displaystyle{ U'}\): \(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}=3x _{3}-x _{4} \\x _{2}= -x _{3}+2x _{4} \end{cases}}\)
Stąd wektory \(\displaystyle{ \gamma _{1} =(3,-2,1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma _{2}=(-1,2,0,1)}\) są bazą przestrzeni rozwiązań układu \(\displaystyle{ U}\)

Zaznaczyłem moment od którego nie rozumiem co się dzieje. Widzę, że w macierzy jest co innego niż w ponownym zapisaniu układu równań. Nie rozumiem tych przejść od zakończenia licznie na macierzy.

[JakimPL]

W jednym miejscu jest zapewne błąd. Zamiast \(\displaystyle{ 7}\) wtargnęła \(\displaystyle{ 1}\) (pewnie dlatego, że podobnie wygląda).

Rozpiszmy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\red 1 \black x _{1} \blue -3 \black x _{3}\green +7 \black x _{4}=0 \\ \violet 1 \black x _{2}\blue +2 \black x _{3} \green -2 \black x _{4}=0 \end{cases}}\)

A teraz popatrzmy na macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \red 1 \black&0&\blue -3 \black&\green 7\black&0\\0&\violet 1 \black&\blue 2 \black&\green -2 \black&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

[sulaw]

a skąd się wzięły te wektory \(\displaystyle{ \gamma}\)? wyglądają inaczej niż te z macierzy.

[JakimPL]

One nie mają być takie jak w macierzy. W tym momencie parametryzujemy układ.

[sulaw]

Właśnie tego procesu nie rozumiem. Czy mógłbyś mi to jakoś przystępnie wytłumaczyć?

[JakimPL]

Za 2 godziny będzie edit, teraz znikam.

[sulaw]

dziękuję

[JakimPL]

Powiedzmy, że mamy już:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}-3x _{3}+7x _{4}=0 \\x _{2}+2x _{3}-2x _{4}=0 \end{cases}}\)

Chcemy znaleźć przestrzeń, którą rozpina zbiór rozwiązań tego układu. W tym celu możemy wyznaczyć któreś ze zmiennych i sparametryzować układ. Mamy dwa równania i cztery niewiadome - prosty rachunek mówi, że wymiar przestrzeni rozwiązań układu będzie równy \(\displaystyle{ 2}\). A więc wyznaczmy dwie dowolne zmienne z układu i potraktujmy je jako parametr.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}=3x_3-7x_4 \\x _{2}=-2x_3+2x_4 \end{cases}}\)

Zauważmy, że każdą zmienną możemy teraz opisać za pomocą dwóch parametrów, \(\displaystyle{ x_3}\), \(\displaystyle{ x_4}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}=3x_3-7x_4 \\x _{2}=-2x_3+2x_4 \\ x_3 = x_3 \\ x_4 = x_4\end{cases}}\)

Gdybyśmy chcieli to zapisać wektorowo:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 3x_3-7x_4 \\ -2x_3+2x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 3x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \\ 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} -7x_4 \\ 2x_4 \\ 0 \\ x_4 \end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c} -7 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]}\)

Stąd możemy zapisać, że każdy wektor rozwiązań z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) jest kombinacją liniową dwóch wymienionych wyżej:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right],\ \left[\begin{array}{c} -7 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]}\)

Te wektory rozpinają przestrzeń rozwiązań układu.

[sulaw]

bardzo dziękuję za pomoc i poświęcony czas

EDIT
czy są inne metody znajdowania bazy (przynajmniej na etapie początkowym nauki algebry), czy to jedyna?

[JakimPL]

Wszystkie znane mi metody w sumie sprowadzają się do tego samego, tylko mogą być inaczej zapisane.

[sulaw]

dzięki za pomoc