wyznaczanie podprzestrzeni
- Gogeta
- Użytkownik
- Posty: 228
- Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 3 razy
wyznaczanie podprzestrzeni
Czy jest to podprzestrzen przestrzeni \(\displaystyle{ \left(R ^{3},+, \cdot \right)}\)?
\(\displaystyle{ A = {(x _{1} , x_2, x_3) : x_1 x_3 = 0},}\)
Jak sie robi zadania tego typu? Moglby ktos rozwiazac je krok po kroku?
\(\displaystyle{ A = {(x _{1} , x_2, x_3) : x_1 x_3 = 0},}\)
Jak sie robi zadania tego typu? Moglby ktos rozwiazac je krok po kroku?
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
wyznaczanie podprzestrzeni
Klamerki Ci zjadło.
Zadania tego typu robi się praktycznie z definicji podprzestrzeni. Czyli sprawdza się, czy dowolna kombinacja liniowa dwóch wektorów z tego zbioru również do niego należy.
Zadania tego typu robi się praktycznie z definicji podprzestrzeni. Czyli sprawdza się, czy dowolna kombinacja liniowa dwóch wektorów z tego zbioru również do niego należy.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
wyznaczanie podprzestrzeni
Korzystamy z definicji podprzestrzeni przestrzeni liniowej tzn. sprawdzamy, czy
(i) \(\displaystyle{ \alpha + \beta \in A,}\)
(ii) \(\displaystyle{ a\alpha \in A.}\)
Sprawdzenie
(i)\(\displaystyle{ \alpha =( (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \wedge \beta = (\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} ) \in A )\rightarrow ( ( \alpha_{1}\cdot \alpha_{3} = 0 \wedge \beta_{1}\cdot \beta_{3} = 0) \rightarrow ((\alpha_{1}\cdot \alpha_{3} +\beta_{1}\cdot \beta_{3}) = 0 + 0 = 0)}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta \in A}\)
(ii) \(\displaystyle{ (a\alpha = (a\alpha_{1}, a\alpha_{2}, a\alpha_{3}) \in A ) \rightarrow (a\alpha_{1}\cdot a\alpha_{3} = a^{2}\alpha_{1}\cdot \alpha_{3} = a^{2}\cdot 0 = 0)}\)
\(\displaystyle{ a\alpha \in A.}\)
Jest to podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) z działaniami dodawania wektorów (punktów) i mnożenia przez skalar.
(i) \(\displaystyle{ \alpha + \beta \in A,}\)
(ii) \(\displaystyle{ a\alpha \in A.}\)
Sprawdzenie
(i)\(\displaystyle{ \alpha =( (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \wedge \beta = (\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} ) \in A )\rightarrow ( ( \alpha_{1}\cdot \alpha_{3} = 0 \wedge \beta_{1}\cdot \beta_{3} = 0) \rightarrow ((\alpha_{1}\cdot \alpha_{3} +\beta_{1}\cdot \beta_{3}) = 0 + 0 = 0)}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta \in A}\)
(ii) \(\displaystyle{ (a\alpha = (a\alpha_{1}, a\alpha_{2}, a\alpha_{3}) \in A ) \rightarrow (a\alpha_{1}\cdot a\alpha_{3} = a^{2}\alpha_{1}\cdot \alpha_{3} = a^{2}\cdot 0 = 0)}\)
\(\displaystyle{ a\alpha \in A.}\)
Jest to podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) z działaniami dodawania wektorów (punktów) i mnożenia przez skalar.
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 9 paź 2010, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 5 razy
wyznaczanie podprzestrzeni
\(\displaystyle{ \alpha = (1, 0, 0) \in A,
\beta = (0, 0, 1) \in A}\)
ale \(\displaystyle{ \alpha + \beta = (1, 0, 1) \not\in A}\)
a więc A nie jest zamknięte na dodawanie. Czyli to nie jest przestrzeń liniowa.
\beta = (0, 0, 1) \in A}\)
ale \(\displaystyle{ \alpha + \beta = (1, 0, 1) \not\in A}\)
a więc A nie jest zamknięte na dodawanie. Czyli to nie jest przestrzeń liniowa.
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 9 paź 2010, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 5 razy
wyznaczanie podprzestrzeni
Własność: \(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{3}=0}\)
w przypadku \(\displaystyle{ \alpha + \beta}\)
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{3}=1}\)
w przypadku \(\displaystyle{ \alpha + \beta}\)
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{3}=1}\)
wyznaczanie podprzestrzeni
Czy mógłbyś Januszu, albo ktoś inny, kto to zrozumiał, wyjaśnić mi dlaczego przy sprawdzaniu, że dodawanie tych wektorów należy do W wykorzystaliśmy mnożenie? Tzn ja widzę, że ta własność jest tam podana tzn \(\displaystyle{ x_{1}x_{3}=0}\) , ale ja to rozumiem tak, że jeśli mam sprawdzić dodawanie to dodaje je, czyli miałbym \(\displaystyle{ \left(a_{1}+ b_{1}, a_{2}+ b_{2}, a_{3}+b _{3}\right)}\). I teraz według mojego zrozumienia musiałbym jakoś sprawdzić, czy ten wektor nadal należy do W. Ale jak skorzystać z tych własności?
Gdzie jest błąd w moim myśleniu?
Z góry dziękuję za odpowiedz.
Gdzie jest błąd w moim myśleniu?
Z góry dziękuję za odpowiedz.
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
wyznaczanie podprzestrzeni
janusz47 trochę błędnie sprawdził addytywność.
Oczywiście jest jak mówisz. Bierzemy dwa dowolne wektory należące do \(\displaystyle{ A}\), np \(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3)}\) oraz \(\displaystyle{ (b_1,b_2,b_3)}\) . Sprawdzamy czy ich suma też należy do przestrzeni.
\(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)}\)
Sprawdzamy warunek.
\(\displaystyle{ (a_1+b_1)\cdot (a_3+b_3)=a_1a_3+a_1b_3+b_1a_3+b_1b_3=a_1b_3+b_1a_3=\cdots}\)
Warunek zachodzi dla dowolnych wektorów, zatem z tego, że \(\displaystyle{ a_1a_3=0}\) oraz \(\displaystyle{ b_1b_3=0}\) możemy rozpatrzyć przypadek \(\displaystyle{ a_3=0 \wedge a_1 \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ b_1=0 \wedge b_3 \neq 0}\)
Czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ \cdots = a_1b_3 \neq 0}\)
Zatem to nie jest przestrzeń liniowa.
Można to zrobić prościej po prostu wskazując takie dwa wektory dla których to nie zachodzi. Tak jak zrobił to Brian221
Oczywiście jest jak mówisz. Bierzemy dwa dowolne wektory należące do \(\displaystyle{ A}\), np \(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3)}\) oraz \(\displaystyle{ (b_1,b_2,b_3)}\) . Sprawdzamy czy ich suma też należy do przestrzeni.
\(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)}\)
Sprawdzamy warunek.
\(\displaystyle{ (a_1+b_1)\cdot (a_3+b_3)=a_1a_3+a_1b_3+b_1a_3+b_1b_3=a_1b_3+b_1a_3=\cdots}\)
Warunek zachodzi dla dowolnych wektorów, zatem z tego, że \(\displaystyle{ a_1a_3=0}\) oraz \(\displaystyle{ b_1b_3=0}\) możemy rozpatrzyć przypadek \(\displaystyle{ a_3=0 \wedge a_1 \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ b_1=0 \wedge b_3 \neq 0}\)
Czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ \cdots = a_1b_3 \neq 0}\)
Zatem to nie jest przestrzeń liniowa.
Można to zrobić prościej po prostu wskazując takie dwa wektory dla których to nie zachodzi. Tak jak zrobił to Brian221
wyznaczanie podprzestrzeni
Twój przykład idealnie wyjaśnił to czego nie rozumiałem. Dzięki jeszcze raz.