wyznaczanie podprzestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Gogeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 3 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: Gogeta »

Czy jest to podprzestrzen przestrzeni \(\displaystyle{ \left(R ^{3},+, \cdot \right)}\)?

\(\displaystyle{ A = {(x _{1} , x_2, x_3) : x_1 x_3 = 0},}\)

Jak sie robi zadania tego typu? Moglby ktos rozwiazac je krok po kroku?
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: Rogal »

Klamerki Ci zjadło.
Zadania tego typu robi się praktycznie z definicji podprzestrzeni. Czyli sprawdza się, czy dowolna kombinacja liniowa dwóch wektorów z tego zbioru również do niego należy.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: janusz47 »

Korzystamy z definicji podprzestrzeni przestrzeni liniowej tzn. sprawdzamy, czy
(i) \(\displaystyle{ \alpha + \beta \in A,}\)
(ii) \(\displaystyle{ a\alpha \in A.}\)
Sprawdzenie
(i)\(\displaystyle{ \alpha =( (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \wedge \beta = (\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} ) \in A )\rightarrow ( ( \alpha_{1}\cdot \alpha_{3} = 0 \wedge \beta_{1}\cdot \beta_{3} = 0) \rightarrow ((\alpha_{1}\cdot \alpha_{3} +\beta_{1}\cdot \beta_{3}) = 0 + 0 = 0)}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta \in A}\)
(ii) \(\displaystyle{ (a\alpha = (a\alpha_{1}, a\alpha_{2}, a\alpha_{3}) \in A ) \rightarrow (a\alpha_{1}\cdot a\alpha_{3} = a^{2}\alpha_{1}\cdot \alpha_{3} = a^{2}\cdot 0 = 0)}\)
\(\displaystyle{ a\alpha \in A.}\)
Jest to podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) z działaniami dodawania wektorów (punktów) i mnożenia przez skalar.
Brian221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 9 paź 2010, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 5 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: Brian221 »

\(\displaystyle{ \alpha = (1, 0, 0) \in A,
\beta = (0, 0, 1) \in A}\)

ale \(\displaystyle{ \alpha + \beta = (1, 0, 1) \not\in A}\)
a więc A nie jest zamknięte na dodawanie. Czyli to nie jest przestrzeń liniowa.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: janusz47 »

Jaka jest własność zbioru A?
Brian221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 9 paź 2010, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 5 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: Brian221 »

Własność: \(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{3}=0}\)
w przypadku \(\displaystyle{ \alpha + \beta}\)
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{3}=1}\)
Awatar użytkownika
Gogeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 3 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: Gogeta »

Dzieki za odpowiedzi pomogly ^^ udalo sie na kolokwium zrobic zadanie bez wiekszych problemow ;]
max320
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 wrz 2011, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: max320 »

Czy mógłbyś Januszu, albo ktoś inny, kto to zrozumiał, wyjaśnić mi dlaczego przy sprawdzaniu, że dodawanie tych wektorów należy do W wykorzystaliśmy mnożenie? Tzn ja widzę, że ta własność jest tam podana tzn \(\displaystyle{ x_{1}x_{3}=0}\) , ale ja to rozumiem tak, że jeśli mam sprawdzić dodawanie to dodaje je, czyli miałbym \(\displaystyle{ \left(a_{1}+ b_{1}, a_{2}+ b_{2}, a_{3}+b _{3}\right)}\). I teraz według mojego zrozumienia musiałbym jakoś sprawdzić, czy ten wektor nadal należy do W. Ale jak skorzystać z tych własności?

Gdzie jest błąd w moim myśleniu?

Z góry dziękuję za odpowiedz.
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: Vardamir »

janusz47 trochę błędnie sprawdził addytywność.

Oczywiście jest jak mówisz. Bierzemy dwa dowolne wektory należące do \(\displaystyle{ A}\), np \(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3)}\) oraz \(\displaystyle{ (b_1,b_2,b_3)}\) . Sprawdzamy czy ich suma też należy do przestrzeni.

\(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)}\)

Sprawdzamy warunek.

\(\displaystyle{ (a_1+b_1)\cdot (a_3+b_3)=a_1a_3+a_1b_3+b_1a_3+b_1b_3=a_1b_3+b_1a_3=\cdots}\)

Warunek zachodzi dla dowolnych wektorów, zatem z tego, że \(\displaystyle{ a_1a_3=0}\) oraz \(\displaystyle{ b_1b_3=0}\) możemy rozpatrzyć przypadek \(\displaystyle{ a_3=0 \wedge a_1 \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ b_1=0 \wedge b_3 \neq 0}\)

Czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ \cdots = a_1b_3 \neq 0}\)

Zatem to nie jest przestrzeń liniowa.

Można to zrobić prościej po prostu wskazując takie dwa wektory dla których to nie zachodzi. Tak jak zrobił to Brian221
max320
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 wrz 2011, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

wyznaczanie podprzestrzeni

Post autor: max320 »

Twój przykład idealnie wyjaśnił to czego nie rozumiałem. Dzięki jeszcze raz.
ODPOWIEDZ