podprzestrzeń liniowa- początki

[sulaw]

miałem niedawno wprowadzone przestrzenie liniowe i nie za bardzo je rozumiem. W ramach nauki robię zadanie ze skryptu Koźniewskiego. Niestety nie ma on odpowiedzi, żeby sprawdzić, czy dobrze kombinuję, co w połączeniu z moim nierozumieniem pod/przestrzeni liniowych jest sporym kłopotem.
Zadanie jest takie: Sprawdzić, czy każdy z poniższych podzbiorów w \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\) spełnia definicję podprzestrzeni:
a) \(\displaystyle{ \left\{ \left( x _{1} ,x _{2} \right);x _{1} , x _{2} \in \ZZ \right\}}\)
Suma dwóch liczb całkowitych jest całkowita więc pierwszy warunek na podprzestrzeń jest spełniony. Nie za bardzo niestety wiem, jak poradzić sobie z drugim warunkiem.
b)\(\displaystyle{ \left\{\left( x _{1},x _{2} \right);x _{1}=0 lub x _{2}=0 \right\}}\)
c)\(\displaystyle{ \left\{ \left( x _{1},x _{2} \right);\left| x _{1} \right|- \left| x _{2} \right| =1 \right\}}\)

Bardzo proszę o pomoc, a szczególnie o wytłumaczenie, jak się sprawdza tego typu przykłady.

[kamil13151]

a) Mnożenie przez skalar będzie zawsze spełnione? \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \left( 1,2\right) \notin \ZZ}\)

[sulaw]

Czyli wystarczyło wziąć dowolny skalar z \(\displaystyle{ \RR}\). Zastanawiałem się, czy skalar ma być z liczb całkowitych, czy też z rzeczywistych. Czy mógłbyś podpowiedzieć, jak zrobić dalsze przykłady?

[kamil13151]

Nie, definicja jasno mówi, że dla dowolnego skalara ma to być spełnione.

b) Jak łatwo dostrzec mnożenie przez skalar będzie zawsze spełnione, zatem pozostaje nam rozpatrzenie drugiego warunku, ale łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ (0,1)+(1,0)=(1,1)}\), a ten wektor już nie należy.

c) Spróbuj zrobić.

[sulaw]

Nie spełnia warunku na mnożenie przez skalar: gdy np. \(\displaystyle{ x _{1}=5; x_{2}=4; skalar=2}\).
Nie spełnia warunku na dodawanie dwóch wektorów: np. \(\displaystyle{ (5,4)+(6,5)= (11,9)}\) a to nie należy.

Dzięki wielkie za pomoc. Ale czy mógłbyś mi na jakimś dowolnym przykładzie pokazać, jak udowodnić, że jakiś podzbiór jest podprzestrzenią liniową?

[kamil13151]

Nie musisz sprawdzać obu warunków, wystarczy, że jednego nie spełni to już wiadomo, że nie jest podprzestrzenią.

Zerknij tutaj: 311703.htm

[sulaw]

Chciałem sprawdzić oba, żeby trochę wprawy nabrać
Dzięki za pomoc.