Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

novy154 · Post autor: **novy154** » 16 lis 2012, o 17:01

Witam,
natrafiłem na typ zadań, których nie jestem w stanie rozwiązać. Nie bardzo wiem, od czego w ogóle zacząć, więc prosiłbym o wskazówki:

1. Znajdź bazę i wymiar przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ (A, +, R, \cdot)}\), gdzie \(\displaystyle{ A = \{{ (z _{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} ) \in C^{4} : z _{1} + z_{2} + z_{3} = 0, z_{1} - z_{3} = 0 }\}}\). Znajdź współrzędne wektora \(\displaystyle{ (0,0,0,1+i)}\) w tej bazie.

2. Podaj bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V = lin (x^{2} + 3x +1, -x^{2} + 2x + 2, 2x^{2} - 9x -, x^{2} + 2x +2)}\) i znajdź w tej bazie współrzędne wektorów \(\displaystyle{ w_{1}(x) = -x^{2} + 2x +2}\) oraz \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 1}\).

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 16 lis 2012, o 17:07

no to masz uklad rownan. Rozwiaz go od razu

novy154 · Post autor: **novy154** » 16 lis 2012, o 17:11

No mam
\(\displaystyle{ z_{1} = z_{3}

z_{2} = -2z_{3}

z_{3} = t \in R}\)

(?)
i co dalej?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 16 lis 2012, o 17:12

No i ile mamy rozwiązań tego układu? Wypisać musisz rozwiązanie w postaci ogólnej

novy154 · Post autor: **novy154** » 16 lis 2012, o 17:18

Mamy nieskończenie wiele rozwiązań układu, zależnych od parametru \(\displaystyle{ t}\), tak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 16 lis 2012, o 18:05

zgadza sie

novy154 · Post autor: **novy154** » 16 lis 2012, o 18:06

No dobrze, tylko co dalej?

Brian221 · Post autor: **Brian221** » 16 lis 2012, o 20:22

skoro zbiór rozwiazan to :
\(\displaystyle{ (z_{3}, -2z_{3}, z_{3}, z_{4})}\)

to bazą są:
\(\displaystyle{ (1, -2, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}\)

novy154 · Post autor: **novy154** » 16 lis 2012, o 20:33

Ok, a współrzędne tego wektora w tej bazie, to [0,1]?

Co z drugim zadaniem? Od czego zacząć?

Brian221 · Post autor: **Brian221** » 16 lis 2012, o 20:46

wspołrzędne to \(\displaystyle{ [0, 1+i]}\)

W drugim trzeba zaczac od sprawdzenia niezaleznosci podanych wektorow. Byc moze ktorys z nich jest liniowa kombinacja pozostalych

novy154 · Post autor: **novy154** » 16 lis 2012, o 21:14

Oczywiście \(\displaystyle{ 1+i}\), masz racje, pomyliłem się.

A co z takim wariantem zadania pierwszego? :
Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ (A, C, +, \cdot )}\) oraz \(\displaystyle{ (A, R, +, \cdot )}\), gdzie \(\displaystyle{ A=\{ (z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) \in C^{4} : z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4}, z_{1} = iz_{2} \}}\)
Będzie jakaś różnica w rozwiązaniu ze względu na różnicę zbiorów w pierwszej części polecenia?

Brian221 · Post autor: **Brian221** » 16 lis 2012, o 21:33

A wlaśnie, w pierwotnej wersji zadania A bylo przestrzenia liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych, a jedna ze wspolrzednych wyszla nam zespolona - czy to nie powoduje jakiegos zgrzytu?
Co to tego wariantu to wydaje mi sie ze nie ma roznicy.