Mam problem z poniższym zadaniem. Czy ktoś ma jakiś pomysł jak go zrobić?
Niech \(\displaystyle{ V =\RR ^{+}}\) (liczby rzeczywiste dodatnie). Określmy dwa działania:
\(\displaystyle{ x\oplus y := x\cdot y}\) dla \(\displaystyle{ x, y\in V}\) oraz \(\displaystyle{ m\otimes x := x ^{m}}\) dla \(\displaystyle{ m \in \RR, x \in V}\). Czy trójka \(\displaystyle{ V}\) z tymi działaniami tworzy przestrzeń wektorową nad \(\displaystyle{ \RR}\)?
Przestrzeń wektorowa
Przestrzeń wektorowa
Ostatnio zmieniony 12 lis 2012, o 09:56 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości (zmiana oznaczeń na bardziej czytelne). Między tagami[latex], [/latex] należy umieszczać całe wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty.
Powód: Poprawa wiadomości (zmiana oznaczeń na bardziej czytelne). Między tagami
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
Przestrzeń wektorowa
Założenia LPW:
1. Dodawanie wektorów jest łączne:
2. Dodawanie wektorów jest przemienne:
3. Dodawanie wektorów ma element neutralny:
4. Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne:
5. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów:
6. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:
7. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów:
8. Mnożenie przez skalar ma element neutralny:
Sprawdźmy je po kolei:
1. \(\displaystyle{ u\oplus(v\oplus w) = u\cdot(v\cdot w) = (u \cdot v)w = (u \oplus v)\oplus w}\)
2. \(\displaystyle{ u\oplus v = u\cdot v = v \cdot u = v \oplus u}\)
3. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{O} \in V}\) będzie elementem neutralnym i \(\displaystyle{ \mathbb{O} = 1}\)
Wtedy : \(\displaystyle{ \mathbb{O} \oplus v = v}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v\in V}\)
4. Elementem przeciwnym dla każdego wektora v należącego do przestrzeni V jest \(\displaystyle{ w = \frac{1}{v}}\). Wtedy : \(\displaystyle{ v\oplus w = \mathbb{O}}\)
5. \(\displaystyle{ m\otimes (v \oplus w) = (v\cdot w)^m = v^m \cdot w^m = (m\otimes v) \oplus (m\otimes w)}\)
6. \(\displaystyle{ (a+b)\otimes v = v^{a+b} = v^a \cdot v^b = (a\otimes v) \oplus (b\otimes v)}\)
7. \(\displaystyle{ a\otimes(b\otimes v) = (v^b)^a = v^{a\cdot b} = (a\cdot b)\otimes v}\)
8. No i jak widać elementem neutralnym mnożenia przez skalar jest 1.
Przestrzeń V jest także domknięta, ponieważ dowolny iloczyn dwóch dodatnich liczb rzeczywistych nadal jest dodatnią liczbą rzeczywistą, oraz dowolna dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi (o wykładniku rzeczywistym) jest liczbą dodatnią rzeczywistą.
Tak więc, V jest liniową przestrzenią wektorową z tak zdefiniowanymi działaniami.
1. Dodawanie wektorów jest łączne:
2. Dodawanie wektorów jest przemienne:
3. Dodawanie wektorów ma element neutralny:
4. Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne:
5. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów:
6. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:
7. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów:
8. Mnożenie przez skalar ma element neutralny:
Sprawdźmy je po kolei:
1. \(\displaystyle{ u\oplus(v\oplus w) = u\cdot(v\cdot w) = (u \cdot v)w = (u \oplus v)\oplus w}\)
2. \(\displaystyle{ u\oplus v = u\cdot v = v \cdot u = v \oplus u}\)
3. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{O} \in V}\) będzie elementem neutralnym i \(\displaystyle{ \mathbb{O} = 1}\)
Wtedy : \(\displaystyle{ \mathbb{O} \oplus v = v}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v\in V}\)
4. Elementem przeciwnym dla każdego wektora v należącego do przestrzeni V jest \(\displaystyle{ w = \frac{1}{v}}\). Wtedy : \(\displaystyle{ v\oplus w = \mathbb{O}}\)
5. \(\displaystyle{ m\otimes (v \oplus w) = (v\cdot w)^m = v^m \cdot w^m = (m\otimes v) \oplus (m\otimes w)}\)
6. \(\displaystyle{ (a+b)\otimes v = v^{a+b} = v^a \cdot v^b = (a\otimes v) \oplus (b\otimes v)}\)
7. \(\displaystyle{ a\otimes(b\otimes v) = (v^b)^a = v^{a\cdot b} = (a\cdot b)\otimes v}\)
8. No i jak widać elementem neutralnym mnożenia przez skalar jest 1.
Przestrzeń V jest także domknięta, ponieważ dowolny iloczyn dwóch dodatnich liczb rzeczywistych nadal jest dodatnią liczbą rzeczywistą, oraz dowolna dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi (o wykładniku rzeczywistym) jest liczbą dodatnią rzeczywistą.
Tak więc, V jest liniową przestrzenią wektorową z tak zdefiniowanymi działaniami.