Przestrzeń wektorowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
rutra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 131
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Przestrzeń wektorowa

Post autor: rutra »

Mam problem z poniższym zadaniem. Czy ktoś ma jakiś pomysł jak go zrobić?

Niech \(\displaystyle{ V =\RR ^{+}}\) (liczby rzeczywiste dodatnie). Określmy dwa działania:
\(\displaystyle{ x\oplus y := x\cdot y}\) dla \(\displaystyle{ x, y\in V}\) oraz \(\displaystyle{ m\otimes x := x ^{m}}\) dla \(\displaystyle{ m \in \RR, x \in V}\). Czy trójka \(\displaystyle{ V}\) z tymi działaniami tworzy przestrzeń wektorową nad \(\displaystyle{ \RR}\)?
Ostatnio zmieniony 12 lis 2012, o 09:56 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości (zmiana oznaczeń na bardziej czytelne). Między tagami [latex], [/latex] należy umieszczać całe wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty.
Awatar użytkownika
Ptaq666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 154 razy

Przestrzeń wektorowa

Post autor: Ptaq666 »

Założenia LPW:

1. Dodawanie wektorów jest łączne:

2. Dodawanie wektorów jest przemienne:

3. Dodawanie wektorów ma element neutralny:

4. Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne:

5. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów:

6. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:

7. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów:

8. Mnożenie przez skalar ma element neutralny:


Sprawdźmy je po kolei:

1. \(\displaystyle{ u\oplus(v\oplus w) = u\cdot(v\cdot w) = (u \cdot v)w = (u \oplus v)\oplus w}\)
2. \(\displaystyle{ u\oplus v = u\cdot v = v \cdot u = v \oplus u}\)
3. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{O} \in V}\) będzie elementem neutralnym i \(\displaystyle{ \mathbb{O} = 1}\)
Wtedy : \(\displaystyle{ \mathbb{O} \oplus v = v}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v\in V}\)
4. Elementem przeciwnym dla każdego wektora v należącego do przestrzeni V jest \(\displaystyle{ w = \frac{1}{v}}\). Wtedy : \(\displaystyle{ v\oplus w = \mathbb{O}}\)
5. \(\displaystyle{ m\otimes (v \oplus w) = (v\cdot w)^m = v^m \cdot w^m = (m\otimes v) \oplus (m\otimes w)}\)
6. \(\displaystyle{ (a+b)\otimes v = v^{a+b} = v^a \cdot v^b = (a\otimes v) \oplus (b\otimes v)}\)
7. \(\displaystyle{ a\otimes(b\otimes v) = (v^b)^a = v^{a\cdot b} = (a\cdot b)\otimes v}\)
8. No i jak widać elementem neutralnym mnożenia przez skalar jest 1.

Przestrzeń V jest także domknięta, ponieważ dowolny iloczyn dwóch dodatnich liczb rzeczywistych nadal jest dodatnią liczbą rzeczywistą, oraz dowolna dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi (o wykładniku rzeczywistym) jest liczbą dodatnią rzeczywistą.

Tak więc, V jest liniową przestrzenią wektorową z tak zdefiniowanymi działaniami.
ODPOWIEDZ