Obliczanie wektorów i wartości własnych

[this]

Witam.
Obliczam właśnie wartości i wektory własne macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\).
Z definicji: \(\displaystyle{ A\vec{x}=\lambda\vec{x}}\)
Po kilku przekształceniach wychodzi: \(\displaystyle{ (A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}}\).
Więc, żeby obliczyć moją lambdę, muszę rozwiązać: \(\displaystyle{ \det{(A-\lambda I)}=0}\)
Moja macierz to \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-2&0&-1\\0&2&0\\3&0&2\end{array}\right]}\)
I po obliczeniu tego wyznacznika wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ (-2-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda)-(-3)(2-\lambda) = 0}\)
Jedyne co potrafiłem z tym zrobić to po prostu przemnożyć, wyszło coś takiego:
\(\displaystyle{ -\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2=0}\)
Teraz nie wiem jak wyliczyć tą lambdę.
Sprawdziłem w komputerze bruteforcem zakres (-10000, 10000)(wolfram mi coś dziś nie chce działać) i wyszło, mi, że to będzie \(\displaystyle{ -1, 1, 2}\)
Tylko, że ja to muszę sam obliczyć.
Jak to się oblicza?

dzięki, pozdrawiam.

[lukasz1804]

Wystarczy rozwiązać równanie wielomianowe. Wyłącz poza nawias z pierwszych dwóch jednomianów \(\displaystyle{ -\lambda^2}\) jako wspólny czynnik, a może zauważysz, w jaki sposób działać dalej.

[this]

Ok, czyli mamy:
\(\displaystyle{ -\lambda^2(\lambda-2)+(\lambda-2)=0}\)
Można to ewentualnie zapisać jako:
\(\displaystyle{ (\lambda-2)(-\lambda^2+1)=0}\)
Ale dalej jakoś mi rozwiązanie nie przychodzi do głowy, co dalej?

dzięki, pozdrawiam.

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ -\lambda^2+1=-(\lambda^2-1)=-(\lambda-1)(\lambda+1)}\)

[this]

To jest dla mnie oczywiste: \(\displaystyle{ \lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1)}\).
Ale jakoś nie mogę załapać, jak to się stało, że:\(\displaystyle{ -\lambda^2+1=\lambda^2-1}\)?

dzięki.


--edytowane---
Ale z drugiej strony, już tutaj widać gołym okiem: \(\displaystyle{ (\lambda-2)(-\lambda^2+1)=0}\), że to będzie \(\displaystyle{ 2, 1, -1}\)

pozdrawiam i dziękuję

[lukasz1804]

Już poprawiłem - czasem piszę co innego niż myślę Dziękuję za uwagę.

[this]

Jeszcze jedna sprawa.
Dla tej macierzy wyszły mi takie trzy rozwiązania:
\(\displaystyle{ \lambda=2, x=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \lambda=1, x=\left[\begin{array}{c}a\\0\\-3a\end{array}\right] a\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=-1, x=\left[\begin{array}{c}a\\0\\-a\end{array}\right] a\in\mathbb{R}}\)

Sprawdzam z definicji \(\displaystyle{ Ax=\lambda x}\) i pasuje dla dowolnych \(\displaystyle{ a}\) ale jak sprawdzę wolframem:
}}
to on ma \(\displaystyle{ 1}\) tam gdzie ja mam \(\displaystyle{ a}\)

Coś mi pewnie umknęło, co?

dzięki, pozdrawiam.