Uzasadnij z definicji -przestrzeń liniowa

[laser15]

Uzasadnić z definicji, że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia 2 wraz z dodawaniem macierzy i mnożeniem macierzy przez liczby rzeczywiste stanowi przestrzeń liniową.

[JakimPL]

Jeżeli ma stanowić przestrzeń liniową, to jakie dwa warunki musi spełniać?

[laser15]

No właśnie w tym problem że nie moge tego zrozumieć.

[JakimPL]

Przede wszystkim zapisz definicję przestrzeni liniowej. Tam są te warunki.

[laser15]

wektory w B są liniowo niezależne.
zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.
Innymi słowy: baza przestrzeni liniowej jest liniowo niezależna i cała przestrzeń jest jej powłoką liniową.

[JakimPL]

A takie warunki były? Definicja przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\).

1. \(\displaystyle{ \forall_{u,v\in V}\ u+v\in V}\)
2. \(\displaystyle{ \forall_{u\in V, k\in K}\ k\cdot u \in V}\)

To, co podałeś, dotyczy bazy.

[laser15]

to rozumiem i co dalej?

[JakimPL]

Masz pokazać, że sumując dwie macierze trójkątne, otrzymasz macierz trójkątną i jak ją wymnożysz przez skalar, to dalej to będzie macierz trójkątna. Wystarczająco proste?

[laser15]

Tak, dzięki.