Liniowa niezależność

[laser15]

niech \(\displaystyle{ U_1=x,y,z,t :x=z ; U_2=x,y,z,t: y=t ; W_1=U_1 \cup U_2; W_2=U_1 \cap U_2}\) Zbiór \(\displaystyle{ W_1}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ W_2}\) i na odwrót. Jak to udowodnić ? Chodzi mi o jakieś przykłady. Czemu \(\displaystyle{ W_1}\) nie jest a \(\displaystyle{ W_2}\) jest podprzestrzenią liniową?

[JakimPL]

Odpowiem na ostatnie pytanie. Rozważ sobie dwie proste (podprzestrzenie liniowe) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\): \(\displaystyle{ \rm{lin}([1,0])}\) oraz \(\displaystyle{ \rm{lin}([0,1])}\). Gdyby suma tych dwóch podprzestrzeni była przestrzenią liniową, to dla dowolnego wektora zachodziłoby:

\(\displaystyle{ v = a [1,0] + b[0,1]=[a,b]}\) dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a,b}\).

Innymi słowy, ta suma musiałaby zawierać wszystkie kombinacje liniowe wektorów \(\displaystyle{ [1,0]}\) oraz \(\displaystyle{ [0,1]}\). No ale nie zawiera, wektor postaci \(\displaystyle{ [1,1]}\) musiałby należeć do tej sumy jako kombinacja liniowa, a przecież nie należy ani do \(\displaystyle{ \rm{lin}([1,0])}\), ani do \(\displaystyle{ \rm{lin}([0,1])}\). Dlatego zamiast sumy mnogościowej podprzestrzeni rozważa się sumy algebraiczne, które zawierają wraz z samymi podprzestrzeniami liniowymi wszystkie możliwe kombinacje liniowe (czyli automatycznie sumy algebraiczne są podprzestrzeniami liniowymi).

Natomiast przekroje podprzestrzeni liniowych spełniają warunki liniowości. Wystarczy rozpisać sobie te warunki, by się o tym przekonać.