Liniowa niezależność wektorów - zapis

[Stopro]

Mam sprawdzić liniową zależność wektorów w podanych przestrzeniach:

\(\displaystyle{ 1,x,x+ \sqrt{2},x ^{2},...,x ^{n}}\) w \(\displaystyle{ (\pi ^{n},+,*)}\) nad \(\displaystyle{ Q}\)

Wnioskuję, że są one liniowo niezależne. Biorę dowolne skalary \(\displaystyle{ a _{1},..., a_{2n} \in Q}\)

Korzystam z definicji niezależności liniowej:

\(\displaystyle{ a _{1} + a _{2}x + a _{3}(x+ \sqrt{2}) + ... + a _{2n}x ^{n} = 0 \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \begin{cases} a _{1} + \sqrt{2}a _{3} + \sqrt{2}a _{5} + ... + \sqrt{2}a _{2n-1} = 0 \\ a _{2} + a_{3} = 0 \\ ... \\ a_{2n}= 0 \end{cases}}\)

Pierwsze równanie tego układu jest sumą skalarów przy wyrażeniach \(\displaystyle{ x ^{0}}\), kolejno \(\displaystyle{ x}\) itd. Widać, że gdybyśmy chcieli wyzerować pierwsze równanie w sposób inny niż poprzez podstawienie w miejsce \(\displaystyle{ a_{i}=0}\) otrzymalibyśmy skalary postaci \(\displaystyle{ a_{2n-1}}\) jako liczby niewymierne, co jest sprzeczne z założeniem. Z tego wnioskuję iż równanie jest spełnione dla \(\displaystyle{ a _{i} = 0 , i \in {0,1,...,2n}}\). Stąd wektory są liniowo niezależne.

Czy takie rozumowanie jest dobre ? Czy można jakoś uprościć/ulepszyć zapis ?

[szw1710]

Istota zadania jest taka, że nad \(\displaystyle{ \RR}\) wielomiany \(\displaystyle{ 1,\;x,\;x\sqrt{2}}\) są oczywiście liniowo zależne, ale nad \(\displaystyle{ \QQ}\) są niezależne, bo \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) nie wygenerujemy z jedynki skalarem wymiernym To nie jest ścisłe uzasadnienie, ale powód.

[Stopro]

No to w skrócie doszedłem do tego samego wniosku. Bardziej mi jednak chodzi o formalny zapis