Znalezc baze by wektor spelni warunek

[Gimbus2000]

Cześć. Mam znaleźć taką bazę przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t) \in R^{4} : x = t, x-3y+2z=0\}}\), by wektor \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) miał w niej współrzędne \(\displaystyle{ [2,2]}\).
Zabrałem się za to tak:

Zapisałem przestrzeń następująco: \(\displaystyle{ (3y-2z,y,z,3y-2z)}\)

Wiadomo, że baza będzie miała drugi wymiar, dlatego zapisałem ją jako wektory generujące przestrzeń \(\displaystyle{ V}\):
\(\displaystyle{ (3y-2z,y,z,3y-2z), (3a-3b,a,b,3a-3b),\quad a,b \in\RR}\)

Z warunków zadania wynika, że musi być:
\(\displaystyle{ 2(3y-2z,y,z,3y-2z)+ 2(3a-3b,a,b,3a-3b) = (1,1,1,1)}\)
Po przekształceniu otrzymałem sumę takich wektorów, które generują przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) oraz wektor \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) ma w tych spośród nich, które są bazami, współrzędne \(\displaystyle{ [2,2]}\):
\(\displaystyle{ (3y-2z,y,z,3y-2z)+ ( \frac{1}{2} -3y +2z,\frac{1}{2}-y,\frac{1}{2}-z,\frac{1}{2}-3y+2z ) = (1,1,1,1)}\)

Teraz wystarczy sprawdzić, kiedy powyższe wektory są bazami:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha (3y-2z) + \beta (-3y + 2z + \frac{1}{2}) = 0\\ \alpha y + \beta (\frac{1}{2}-y)\\ \alpha z + \beta (\frac{1}{2}-z) \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha y + \frac{1}{2}\beta - y\beta)\\-\alpha z - \frac{1}{2}\beta + z\beta)\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (\alpha-\beta)(y-z)=0}\) Wybieramy dowolne \(\displaystyle{ y \neq z}\) i \(\displaystyle{ z}\), np. \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ z=0}\), sprawdzamy czy spełnia resztę równań i wyznaczamy potencjalną bazę:

\(\displaystyle{ (\frac{3}{2},\frac{1}{2},0,\frac{3}{2}), (-1,0,\frac{1}{2},-1)}\)

Widać, że te wektory tworzą bazę w \(\displaystyle{ \RR^2}\), generują powłokę \(\displaystyle{ V}\) i wektor \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) ma w niej współrzędne \(\displaystyle{ [2,2]}\) (Jeśli zajdzie taka potrzeba, udowodnię)


Czy to zadanie jest wykonane poprawnie? Bardzo proszę o sprawdzenie, gdyż nie jestem pewien czy gdzieś błędnie nie zinterpretowałem twierdzeń dot. własności przestrzeni liniowych. A może jest na to jakiś prostszy sposób?

[lackiluck1]

Sposób dobry, kilka literówek .
Drugi wektor bazy powinien wyglądać chyba tak:
\(\displaystyle{ (3a-2b,a,b,3a-2b),\quad a,b \in\RR}\)
a kolejne równanie tak:
\(\displaystyle{ 2(3y-2z,y,z,3y-2z)+2( \frac{1}{2} -3y +2z,\frac{1}{2}-y,\frac{1}{2}-z,\frac{1}{2}-3y+2z ) = (1,1,1,1)}\)
Wektory \(\displaystyle{ (\frac{3}{2},\frac{1}{2},0,\frac{3}{2}), (-1,0,\frac{1}{2},-1)}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) (zgodnie z treścią zadania), która jest podprzestrzenią (powłoką) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^ 4}\), nie mogą natomiast generować przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\), bo bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\) są dwa niezależne wektory o dwóch wymiarach.