Wykaż że układ tworzy bazę w przestrzeni

[piotreq140]

Mam problem z następującym zadaniem:

Wykaż, że układ \(\displaystyle{ p_{1} \left( t\right) = 2, p_{2}\left( t\right) = t + 3, p_{3}\left( t\right) = 2 t^{2} + 1}\) tworzy bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{ R }_{2}[t]}\) wielomianów stopnia 2 nad
\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Znajdź współczynniki \(\displaystyle{ at^{2} + bt + c}\) w tej bazie.


Wiem (tak mi się przynajmniej wydaje) jak wykazać że układ tworzy bazę, ale nie bardzo rozumiem o co chodzi z tymi współczynnikami. Czy to po prostu chodzi o współczynniki kombinacji liniowej? Czy wówczas są równe \(\displaystyle{ a = 0, b=0, c = 0}\)?

[octahedron]

\(\displaystyle{ at^2+bt+c=\alpha(2t^2+1)+\beta(t+3)+2\gamma=2\alpha t^2+\beta t+\alpha+3\beta+2\gamma\\\\
\begin{cases}\alpha=\frac{a}{2}\\\beta=b\\\gamma=\frac{2c-a-6b}{4}\end{cases}}\)

[piotreq140]

Dzieki za odpowiedz. Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale skoro układ jest bazą to \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) są równe \(\displaystyle{ 0}\), wiec \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) są równe \(\displaystyle{ 0}\) ?

[octahedron]

Wektory liniowo niezależne, czyli np. takie, które tworzą bazę, spełniają równanie:

\(\displaystyle{ ap_1+bp_2+cp_3=0}\)

tylko dla \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)

Natomiast tutaj mamy znaleźć współczynniki wektora \(\displaystyle{ p=at^2+bt+c}\) w bazie \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\), czyli liczby \(\displaystyle{ \alpha, \beta,\gamma}\) takie, że:

\(\displaystyle{ p=\alpha p_1+\beta p_2+\gamma p_3}\)