Macierz odwrotna

[obcasowa]

Oblicz macierz odwrotną do macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\3&0&-2\\4&-2&5\end{array}\right]}\)

[Qń]

Macierz odwrotną można wyznaczyć przy pomocy macierzy dopełnień algebraicznych bądź też przy pomocy operacji elementarnych. Co najmniej jedna z tych metod musiała być na wykładzie, więc z czym właściwie masz problem?

Q.

[Pancernik]

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\3&0&-2\\4&-2&5\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&-1&1&0&0\\3&0&-2&0&1&0\\4&-2&5&0&0&1\end{array}\right]
\xrightarrow{W_2-3W_1}
\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&-1&1&0&0\\0&-6&1&-3&1&0\\4&-2&5&0&0&1\end{array}\right]
\xrightarrow{W_3-4W_1}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&-1&1&0&0\\0&-6&1&-3&1&0\\0&-10&9&-4&0&1\end{array}\right]
\xrightarrow{W_2:(-6)}
\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&-1&1&0&0\\0&1&-\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}&0\\0&-10&9&-4&0&1\end{array}\right]
\xrightarrow{W_1-2W_2}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\0&1&-\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}&0\\0&-10&9&-4&0&1\end{array}\right]
\xrightarrow{W_3+10W_2}
\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\0&1&-\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}&0\\0&0&\frac{22}{3}&1&-\frac{5}{3}&1\end{array}\right]
\xrightarrow{W_3:\frac{22}{3}}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\0&1&-\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}&0\\0&0&1&\frac{3}{22}&-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{array}\right]
\xrightarrow{W_1+\frac{2}{3}W_3}
\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac{1}{11}&\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\0&1&-\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}&0\\0&0&1&\frac{3}{22}&-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{array}\right]
\xrightarrow{W_2+\frac{1}{6}W_3}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac{1}{11}&\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\0&1&0&\frac{23}{44}&-\frac{27}{132}&\frac{1}{44}\\0&0&1&\frac{3}{22}&-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{23}{44}&-\frac{27}{132}&\frac{1}{44}\\\frac{3}{22}&-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{array}\right]}\)

[obcasowa]

Pancernik, chyba się gdzieś pomyliłeś w obliczeniach.
poprawny wynik to :
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-2&1&0\\-11.5&4.5&-0.5\\-3&1&0\end{array}\right]}\)

[mmoonniiaa]

Wynik Pancernika jest w porządku dla podanej przez Ciebie macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Natomiast Twoja odpowiedź pasuje do takiej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&\red 0&-1\\3&0&-2\\4&-2&5\end{array}\right]}\)

[obcasowa]

Rzeczywiście, teraz wszystko się zgadza