Załóżmy, że wektory \(\displaystyle{ U,W \in R ^{2}}\) są liniowo niezależne, a macierz \(\displaystyle{ A}\) spełnia warunki \(\displaystyle{ AU=5U+4W}\),\(\displaystyle{ AW=3U+2W}\).
Udowodnij, że istnieje odwracalna macierz \(\displaystyle{ P}\), taka że \(\displaystyle{ A=P\left[\begin{array}{ccc}5&3\\4&2\end{array}\right]P ^{-1}}\)
Proszę o wskazówki. Próbowałem stworzyć nowy układ współrzędnych, w którym (ponieważ z liniowej niezależności mamy, że każdy wektor \(\displaystyle{ \in R ^{2}}\) da się jednoznacznie zapisać w postaci \(\displaystyle{ \alpha U+ \beta W}\)) pierwsza współrzędna odpowiadałaby współczynnikowi \(\displaystyle{ \alpha}\), zaś druga -współczynnikowi \(\displaystyle{ \beta}\), wykorzystać fakt, że mamy w kolumnach środkowej macierzy przedstawienie \(\displaystyle{ AU}\) i \(\displaystyle{ AW}\) w takim układzie współrzędnych i pokazać jakoś, że przy przejściu na te współrzędne taką postać przybiera \(\displaystyle{ A}\), ale ugrzązłem w rachunkach, co pewnie oznacza, ze coś mieszam/czegoś nie widzę.