Złożenie przekształceń ortogonalnych

[raczka555]

Jak wykazać że złożenie dwóch przekształceń ortogonalnych jest przekształceniem ortogonalnym?

[TPB]

Skorzystaj z tego, że przekształcenie jest ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometryczne. Pokaż, że złożenie przekształceń izometrycznych jest izometryczne (co jest proste), wtedy jeszcze raz przejdź przez wspomniane przeze mnie twierdzenie i gotowe.

Brrr można to zrobić oczywiście wprost. Niech \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) będą ortogonalne.
Złożenie odwzorowań liniowych jest liniowe - prosty fakt. Pokażemy, że superpozycja tych funkcji wciąż zachowuje iloczyn skalarny.
Mamy, że \(\displaystyle{ \left( F(x),F(y)\right) = \left( x,y\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( G(x),G(y)\right) = \left( x,y\right)}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \left( G(F(x)),G(F(y))\right) = \left( F(x), F(y)\right) = \left( x,y\right)}\).

[raczka555]

A co do pierwszego sposobu to przecież przekształcenie jest izometrią wtedy, gdy jego macierz jest ortogonalna, a nie bardzo uśmiecha mi się sprawdzać macierz przekształcenia \(\displaystyle{ F(x_1,x_2,...,x_n)=(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n, b_1x+1+...+b_nx_n, ... , n_1x_1+...+n_n x_n)}\), która zajmuje całą kartkę po rozpisaniu ...

[TPB]

Nie trzeba liczyć nic z macierzami. Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ F}\) jest izometrią, gdy mamy spełniony warunek \(\displaystyle{ \left| \left| F(x)\right| \right| = \left| \left| x\right| \right|}\).

[raczka555]

A dlaczego
\(\displaystyle{ \left( G(F(x)),G(F(y))\right) = \left( F(x), F(y)\right)}\) i czemu nie wykorzystuje się tu warunku, że iloczyn skalarny =0?