Czy jest izometrią:
a) \(\displaystyle{ f(x,y)=(x+2y,x-y)}\)
b) \(\displaystyle{ g(x,y)=(-x+1,-y,z+5)}\)
W a) wzięłam wektory \(\displaystyle{ v_1=(0,1),v_2=(2,3)}\) i policzyłam \(\displaystyle{ d(v_1,v_2)}\) oraz \(\displaystyle{ d(f(v_1),f(v_2))}\), wyszło, że są różne, więc to nie jest izometria
W b) zbadałam, czy \(\displaystyle{ h(x,y)=(-x,-y,z)}\) jest izometrią i wyszło, że tak, bo macierz jest ortogonalna, a \(\displaystyle{ g(x,y)}\) jest izometrią, bo jest przesunięciem izometrii \(\displaystyle{ h(x,y)}\)
DObrze rozwiązałam to zadanie?
Sprawdzenie czy jest izometrią
-
szw1710
Sprawdzenie czy jest izometrią
Przykład b) to złożenie translacji i symetrii, a więc izometria Symetria: \(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)}\) - względem osi \(\displaystyle{ z}\). Translacja - o wektor \(\displaystyle{ [1,0,5]}\).
-
szw1710
Sprawdzenie czy jest izometrią
Oczywiście - jeśli choć jedna odległość ulega zmianie - nie jest to izometria.
Wyznacznik izometrii to \(\displaystyle{ \pm 1.}\) W a) jest inny
O zmianie odległości w odwzorowaniu liniowym decyduje wyznacznik jego macierzy. Powiedzmy, że mamy odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^n}\) dane wzorem macierzowym \(\displaystyle{ f(X)=AX.}\) Wtedy dowodzi się, że miara Lebesgue'a obrazu zbioru \(\displaystyle{ D\subset\RR^n}\) w odwzorowaniu \(\displaystyle{ f}\) wynosi
\(\displaystyle{ m(f(D))=|\det A|\cdot m(B)}\)
gdzie \(\displaystyle{ m}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową miarę Lebesgue'a. (Dowód - Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, paragraf Pewna charakteryzacja modułu wyznacznika). Pozwala to mniemać, że miara długości odcinka (jednowymiarowa miara Lebesgue'a), tj. odległość pomiędzy obrazami, to
\(\displaystyle{ \|f(X)-f(Y)\|=\sqrt[n]{|\det A|}\cdot \|X-Y\|}\)
Wyznacznik izometrii to \(\displaystyle{ \pm 1.}\) W a) jest inny
O zmianie odległości w odwzorowaniu liniowym decyduje wyznacznik jego macierzy. Powiedzmy, że mamy odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^n}\) dane wzorem macierzowym \(\displaystyle{ f(X)=AX.}\) Wtedy dowodzi się, że miara Lebesgue'a obrazu zbioru \(\displaystyle{ D\subset\RR^n}\) w odwzorowaniu \(\displaystyle{ f}\) wynosi
\(\displaystyle{ m(f(D))=|\det A|\cdot m(B)}\)
gdzie \(\displaystyle{ m}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową miarę Lebesgue'a. (Dowód - Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, paragraf Pewna charakteryzacja modułu wyznacznika). Pozwala to mniemać, że miara długości odcinka (jednowymiarowa miara Lebesgue'a), tj. odległość pomiędzy obrazami, to
\(\displaystyle{ \|f(X)-f(Y)\|=\sqrt[n]{|\det A|}\cdot \|X-Y\|}\)