twierdzenie Kroneckera-Capelli'ego

[student mibm14]

witam mam problem z rozwiązaniem tego zadania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ 2x-4y+6z=2 \\ 3x-6y+9z=3 \end{cases}}\)

równanie te należy zrobić zgodnie z twierdzeniem kroneckera, wyznaczyłem rząd macierzy, lecz nie wiem co dalej zrobić, proszę o pomoc, student.

[szw1710]

Widać, że wszystkie kolumny macierzy głównej są proporcjonalne, toteż rząd macierzy głównej to jeden. KOlukmna wyrazów wolnych też jest proporcjonalna do kolumn macierzy głównej, więc i rząd macierzy uzupełnionej to jeden. Zatem zostaje nam jedno (dowolne równanie) i dwa paramerty: np.

\(\displaystyle{ z=1+2y-3z,\;y,z\in\RR.}\)

Można też zauważyć proporcjonalność równań Czyli wierszy macierzy rozszerzonej.

[lackiluck1]

Macierz podstawowa: \(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\\2&-4&6\\3&-6&9\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ r(A) = r\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\\2&-4&6\\3&-6&9\end{array}\right] = \left\{\begin{array}{l} w_2 = 2 w_1\\w_3 = 3 w_1 \end{array} \right\} = r\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\end{array}\right] = 1}\)
Macierz rozszerzona \(\displaystyle{ A_b = \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\2&-4&6&2\\3&-6&9&3\end{array}\right]}\)
Rząd liczymy analogicznie i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ r(A_b) = 1}\)
\(\displaystyle{ r(A) = r(A_b)}\) zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów i wystarczy zająć się tylko pierwszym równaniem, bo pozostałe są do niego proporcjonalne.
podstawiamy \(\displaystyle{ y = t}\) i \(\displaystyle{ z = s}\) , gdzie \(\displaystyle{ t, s \in \RR}\)
to \(\displaystyle{ x = 1+ 2t- 3s}\)

[student mibm14]

a jakbym podstawił x=t i y=s to byłoby źle?

[lackiluck1]

W tym przypadku nie, tylko miałbyś ułamki we wzorze na z.