znaleźć macierz A

[Arcymistrz]

Znaleźć macierz A, jeśli:
\(\displaystyle{ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det(A^{-1} )=3}\)
Ma ktoś jakiś pomysł?

[lackiluck1]

Z definicji: \(\displaystyle{ A^{-1} A= E}\)
Z własności wyznacznika: \(\displaystyle{ det (AB) = det A \cdot det B}\)
czyli:
\(\displaystyle{ det E = det(A^{-1}) \cdot det A}\)
\(\displaystyle{ 1 = 3 \cdot det A \Rightarrow det A = \frac{1}{3}}\)
Wystarczy teraz wyliczyć A ze wzoru:
\(\displaystyle{ A ^{-1}= \frac{1}{det A} \cdot (A ^{d} ) ^{T}}\)
odwracając kolejność działań

[lel1101]

\(\displaystyle{ det(A ^{-1}) = (det A) ^{-1} \Rightarrow det A = \frac{1}{3}}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}x&y\\z&w\end{array}\right]}\)
Wuwaczas:
\(\displaystyle{ A ^{-1}= \frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}w&-z\\-y&x\end{array}\right] ^{T}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{w}{3} &- \frac{y}{3} \\- \frac{z}{3} & \frac{x}{3} \end{array}\right]}\)
A stąd wynika:
\(\displaystyle{ a= \frac{w}{3} \Rightarrow w=3a\\
b=- \frac{y}{3} \Rightarrow y=-3b\\
c=- \frac{z}{3} \Rightarrow z=-3c\\
d= \frac{x}{3} \Rightarrow x=3d}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3d&-3b\\-3c&3a\end{array}\right]}\)

[lackiluck1]

\(\displaystyle{ A ^{-1}= \frac{1}{det A} \cdot (A ^{d} ) ^{T}}\) i \(\displaystyle{ det A = \frac{1}{3}}\) czyli w oznaczeniach zaproponowanych przez lel1101:
\(\displaystyle{ A ^{-1}= \frac{1}{ \frac{1}{3} }\left[\begin{array}{ccc}w&-z\\-y&x\end{array}\right] ^{T} = 3 \left[\begin{array}{ccc}w&-z\\-y&x\end{array}\right] ^{T}}\)
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}d&-\frac{1}{3}b\\-\frac{1}{3}c&\frac{1}{3}a\end{array}\right]}\)