(Nie)zależność liniowa wektorów

[pitergg]

Jak układem równań można obliczyć niezależność liniową wektorów? Czy można to zrobić na jakiś jeszcze inny sposób niż układem równań? Niestety definicja niewiele mi mówi
Np. wektory:
\(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=(3,3,0)}\)
Jak sprawdzić czy są liniowo niezależne?

[JakimPL]

Wrzuć je do macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{array}\right]}\)

i oblicz rząd macierzy, wykonując operacje elementarne. Jeżeli jest \(\displaystyle{ 2}\) (liczba wektorów), to wektory są liniowo niezależne, jeżeli mniej - zależne. Tu akurat widać, że \(\displaystyle{ (1,1,0) \cdot 3 = (3,3,0)}\), a więc są zależne.

[pitergg]

Super, dzięki! A czy jakoś bez macierzy się da? Załóżmy, że nie wiem co to jest "rząd macierzy"?

A skąd ta zależność, którą zastosowałeś na końcu?

[JakimPL]

Musisz wrócić się do definicji liniowej zależności. Wektor jest zależny od innych, jeżeli można przedstawić go jako pewną kombinację liniową:

\(\displaystyle{ {\bf u} = a_1 \cdot {\bf v}_1 + \ldots + a_n \cdot {\bf v}_b}\)

Tu sprawa jest prosta, bo mamy tylko dwa wektory. Jeżeli byłyby zależne, to zachodziłoby:

\(\displaystyle{ {\bf u} = a {\bf v}}\)

I zachodzi, dla \(\displaystyle{ {\bf u}=[1,1,0]}\) i \(\displaystyle{ {\bf v} = [3,3,0]}\) znajdziemy takie \(\displaystyle{ a}\), że powyższa równość jest spełniona. Nietrudno zauważyć, że jest to \(\displaystyle{ 3}\). Ale, jeżeli tego nie widzimy, to rozwiązujemy układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 = a \cdot 3 \\ 1 = a \cdot 3 \\ 0 = a \cdot 0\end{cases}}\)

który ma rozwiązanie (właśnie \(\displaystyle{ a=3}\)).

Rząd macierzy masz na Googlach. Prędzej czy później i tak będziesz musiał znać tę definicję, więc radzę sobie ją przyswoić.

[pitergg]

Dzięki, a możesz mi jeszcze powiedzieć o co chodzi z tym zerem tutaj?

AU

969bc1fa7c3e60c1fc45177d999e67ae.png (646 Bajtów) Przejrzano 82 razy

[JakimPL]

Pytasz o wektor zerowy \(\displaystyle{ {\bf 0} = [\underbrace{0,\ldots,0}_{n\text{ razy}}]}\)?

[pitergg]

Mmm, chyba tak Znalazłem taką definicję i chciałbym wiedzieć jak ją wykorzystać

[JakimPL]

To właśnie wykorzystaliśmy. Czy będziesz szukać rozwiązania:

\(\displaystyle{ {\bf u} = a {\bf v}}\)

czy

\(\displaystyle{ {\bf u} + b {\bf v} = {\bf 0}}\)

to jedno i to samo.