(Nie)zależność liniowa wektorów
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 16:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 76 razy
(Nie)zależność liniowa wektorów
Jak układem równań można obliczyć niezależność liniową wektorów? Czy można to zrobić na jakiś jeszcze inny sposób niż układem równań? Niestety definicja niewiele mi mówi
Np. wektory:
\(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=(3,3,0)}\)
Jak sprawdzić czy są liniowo niezależne?
Np. wektory:
\(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=(3,3,0)}\)
Jak sprawdzić czy są liniowo niezależne?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
(Nie)zależność liniowa wektorów
Wrzuć je do macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{array}\right]}\)
i oblicz rząd macierzy, wykonując operacje elementarne. Jeżeli jest \(\displaystyle{ 2}\) (liczba wektorów), to wektory są liniowo niezależne, jeżeli mniej - zależne. Tu akurat widać, że \(\displaystyle{ (1,1,0) \cdot 3 = (3,3,0)}\), a więc są zależne.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{array}\right]}\)
i oblicz rząd macierzy, wykonując operacje elementarne. Jeżeli jest \(\displaystyle{ 2}\) (liczba wektorów), to wektory są liniowo niezależne, jeżeli mniej - zależne. Tu akurat widać, że \(\displaystyle{ (1,1,0) \cdot 3 = (3,3,0)}\), a więc są zależne.
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 16:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 76 razy
(Nie)zależność liniowa wektorów
Super, dzięki! A czy jakoś bez macierzy się da? Załóżmy, że nie wiem co to jest "rząd macierzy"?
A skąd ta zależność, którą zastosowałeś na końcu?
A skąd ta zależność, którą zastosowałeś na końcu?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
(Nie)zależność liniowa wektorów
Musisz wrócić się do definicji liniowej zależności. Wektor jest zależny od innych, jeżeli można przedstawić go jako pewną kombinację liniową:
\(\displaystyle{ {\bf u} = a_1 \cdot {\bf v}_1 + \ldots + a_n \cdot {\bf v}_b}\)
Tu sprawa jest prosta, bo mamy tylko dwa wektory. Jeżeli byłyby zależne, to zachodziłoby:
\(\displaystyle{ {\bf u} = a {\bf v}}\)
I zachodzi, dla \(\displaystyle{ {\bf u}=[1,1,0]}\) i \(\displaystyle{ {\bf v} = [3,3,0]}\) znajdziemy takie \(\displaystyle{ a}\), że powyższa równość jest spełniona. Nietrudno zauważyć, że jest to \(\displaystyle{ 3}\). Ale, jeżeli tego nie widzimy, to rozwiązujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 = a \cdot 3 \\ 1 = a \cdot 3 \\ 0 = a \cdot 0\end{cases}}\)
który ma rozwiązanie (właśnie \(\displaystyle{ a=3}\)).
Rząd macierzy masz na Googlach. Prędzej czy później i tak będziesz musiał znać tę definicję, więc radzę sobie ją przyswoić.
\(\displaystyle{ {\bf u} = a_1 \cdot {\bf v}_1 + \ldots + a_n \cdot {\bf v}_b}\)
Tu sprawa jest prosta, bo mamy tylko dwa wektory. Jeżeli byłyby zależne, to zachodziłoby:
\(\displaystyle{ {\bf u} = a {\bf v}}\)
I zachodzi, dla \(\displaystyle{ {\bf u}=[1,1,0]}\) i \(\displaystyle{ {\bf v} = [3,3,0]}\) znajdziemy takie \(\displaystyle{ a}\), że powyższa równość jest spełniona. Nietrudno zauważyć, że jest to \(\displaystyle{ 3}\). Ale, jeżeli tego nie widzimy, to rozwiązujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 = a \cdot 3 \\ 1 = a \cdot 3 \\ 0 = a \cdot 0\end{cases}}\)
który ma rozwiązanie (właśnie \(\displaystyle{ a=3}\)).
Rząd macierzy masz na Googlach. Prędzej czy później i tak będziesz musiał znać tę definicję, więc radzę sobie ją przyswoić.
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 16:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 76 razy
(Nie)zależność liniowa wektorów
Dzięki, a możesz mi jeszcze powiedzieć o co chodzi z tym zerem tutaj?
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 16:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 76 razy
(Nie)zależność liniowa wektorów
Mmm, chyba tak Znalazłem taką definicję i chciałbym wiedzieć jak ją wykorzystać
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
(Nie)zależność liniowa wektorów
To właśnie wykorzystaliśmy. Czy będziesz szukać rozwiązania:
\(\displaystyle{ {\bf u} = a {\bf v}}\)
czy
\(\displaystyle{ {\bf u} + b {\bf v} = {\bf 0}}\)
to jedno i to samo.
\(\displaystyle{ {\bf u} = a {\bf v}}\)
czy
\(\displaystyle{ {\bf u} + b {\bf v} = {\bf 0}}\)
to jedno i to samo.