Kombinacje liniowe wektorów

[pitergg]

Cześć,
Jak zrobić zadanie polegające na sprawdzeniu czy istnieją (i ew. wyznaczyć je) kombinacje liniowe wektora \(\displaystyle{ \vec{u}_{1,2,3}}\) dające wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\).
Dane: \(\displaystyle{ u_{1}=(2,0,1)}\) \(\displaystyle{ u_{2}=(1,1,0)}\) \(\displaystyle{ u_{3}=(0,1,-1)}\) \(\displaystyle{ v=(3,3,-1)}\).
Jakimi sposobami można to zrobić? Bo domyślam się, że np. układem równań i z macierzy też...

[kamil13151]

Bo domyślam się, że np. układem równań i z macierzy też...

Owszem, to jaki masz problem, żeby to sprawdzić? Co z definicji powinno zachodzić?

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \alpha \vec{u _{1} }+ \beta \vec{u _{2} }+\gamma \vec{u _{3} } = \vec{v }}\)

\(\displaystyle{ \alpha (2,0,1)+ \beta (1,1,0)+\gamma (0,1,-1) =(3,3,-1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 \alpha+ \beta =3 \\ \beta +\gamma=3 \\ \alpha -\gamma=-1 \end{cases}}\)

[pitergg]

\(\displaystyle{ \alpha \vec{u _{1} }+ \beta \vec{u _{2} }+\gamma \vec{u _{3} } = \vec{v }}\)

\(\displaystyle{ \alpha (2,0,1)+ \beta (1,1,0)+\gamma (0,1,-1) =(3,3,-1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 \alpha+ \beta =3 \\ \beta +\gamma=3 \\ \alpha -\gamma=-1 \end{cases}}\)

Dzięki I w zależności od tego jaki jest układ (oznaczony, tożsamościowy albo sprzeczny) taka będzie odpowiedź? To znaczy, że jeżeli układ jest oznaczony, to wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\) dają wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\)? Jeżeli sprzeczny to znaczy że nie ma takich kombinacji liniowych? A jeżeli tożsamościowy?


A jak to rozwiązać macierzą? Czy da się jakoś inaczej niż metodą eliminacji Gaussa?

[Radek44]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2&1&3\\1&1&3\\1&-1&-1\end{vmatrix}}\)

3 kolumna to wyrazy wolne, których nie potrafiłem oddzielić pionową kreską od pierwszych dwóch. Teraz postaraj się otrzymać macierz schodkową.