dowód twierdzenia
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
dowód twierdzenia
Ja też nie wiem w jaki sposób.
Ale mogę zaproponować inny argument: gdyby te wektory były liniowo niezależne, to rozpinałyby czterowymiarową podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). A takie stworzenie jak czterowymiarowa podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) oczywiście nie istnieje.
Q.
Ale mogę zaproponować inny argument: gdyby te wektory były liniowo niezależne, to rozpinałyby czterowymiarową podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). A takie stworzenie jak czterowymiarowa podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) oczywiście nie istnieje.
Q.
-
54321
- Użytkownik
- Posty: 310
- Rejestracja: 21 lis 2009, o 15:25
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 2 razy
dowód twierdzenia
czyli mozn cos takiego zapisac dowod nie wprost zakładamy że podane wektory są liniowo niezależne i z twierdznia steinitza mamy ze nalezalyby one do przetrzestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) a co jest sprzeczny z naszymi zalozeniami ze te wektory naleza do \(\displaystyle{ R^{3}}\)czyli przynajmniej jedne z nich jest liniowo zalezny. mozna tak zapisać czy nie? a moze jakoś inaczej trzeba to ujać?
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
dowód twierdzenia
Jeżeli jeden wektor byłby zależny od pozostałych, to istniałoby rozwiązanie układu:
\(\displaystyle{ x_4 = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3}\)
Rozpisując:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_{41} \\ x_{42} \\ x_{43} \end{array}\right] = a_1 \left[\begin{array}{c} x_{11} \\ x_{12} \\ x_{13} \end{array}\right] + a_2 \left[\begin{array}{c} x_{21} \\ x_{22} \\ x_{23} \end{array}\right] + a_3 \left[\begin{array}{c} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \end{array}\right]}\)
co daje:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_{41} = a_1 x_{11} + a_2 x_{21} + a_3 x_{31} \\
x_{42} = a_1 x_{12} + a_2 x_{22} + a_3 x_{32} \\
x_{43} = a_1 x_{13} + a_2 x_{23} + a_3 x_{33}\end{cases}}\)
Jaki to jest układ? Ile mamy niewiadomych, a ile danych? Co można powiedzieć o jego rozwiązaniu? Kiedy jest sprzeczny?
\(\displaystyle{ x_4 = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3}\)
Rozpisując:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_{41} \\ x_{42} \\ x_{43} \end{array}\right] = a_1 \left[\begin{array}{c} x_{11} \\ x_{12} \\ x_{13} \end{array}\right] + a_2 \left[\begin{array}{c} x_{21} \\ x_{22} \\ x_{23} \end{array}\right] + a_3 \left[\begin{array}{c} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \end{array}\right]}\)
co daje:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_{41} = a_1 x_{11} + a_2 x_{21} + a_3 x_{31} \\
x_{42} = a_1 x_{12} + a_2 x_{22} + a_3 x_{32} \\
x_{43} = a_1 x_{13} + a_2 x_{23} + a_3 x_{33}\end{cases}}\)
Jaki to jest układ? Ile mamy niewiadomych, a ile danych? Co można powiedzieć o jego rozwiązaniu? Kiedy jest sprzeczny?
