Poprawność rozumowania

[patlas]

Witam,
czy mój tok rozumowania jest poprawny?

Jeżeli dwa wektory są liniowo-niezależne to wynika z tego że generują przestrzeń, a z tego wynika że są bazą przestrzeni o wymiarze 2?

[bartek118]

Witam,
czy mój tok rozumowania jest poprawny?

Jeżeli dwa wektory są liniowo-niezależne to wynika z tego że generują przestrzeń, a z tego wynika że są bazą przestrzeni o wymiarze 2?

Dokładniej to:
Jeżeli dwa wektory są liniowo niezależne, to generują przestrzeń o wymiarze 2, w szczególności są one bazą tej przestrzeni jako układ liniowo niezależnych generatorów.

[patlas]

A jak się sprawdza czy są one generatorami i to w dodatku liniowo niezależnymi?
I jak to jest że mam np takie wektory (1,1,1,1) i (3,2,5,1) są one liniowo niezależne i generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^2}\) a skladają się z 4 "skladników" każdy?

[Radek44]

tak się to sprawdza :
dla przykładu weżmy układ 3 wektorów

\(\displaystyle{ (1,3,0) (2,0,2) (-3,9,0)}\)
czyli :
1 krok to sprawdzenie liniowej niezależności. Aby wektory były liniowo niezależne, to z zerowania kombinacji musi wynikac zerowanie współczynników. Więc :
\(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) (1,3,0) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\) (2,0,2) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) (-3,9,0) = 0
rozwiązujesz to i od razu widać, że \(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) = 0 , \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\)=0 , \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) = 0 co oznacza, że wektory są liniowo niezależne.

2 krok to sprawdzenie warunku generowania. Więc :
\(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) (1,3,0) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\) (2,0,2) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) (-3,9,0) = (\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\))
Rozwiąż to w zależności od \(\displaystyle{ x_{1}}\) , \(\displaystyle{ x_{2}}\) , \(\displaystyle{ x_{3}}\)
Jeśli okaże się, że da się przedstawić jako te iksy to oznacza, że podany zbiór wektorów jest bazą w \(\displaystyle{ R^{3}}\)