Czy zbior jest bazą w danej przestrzeni?
-
djemail
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 3 lis 2012, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 1 raz
Czy zbior jest bazą w danej przestrzeni?
Witam.Mam zadania z badania przestrzeni R.Podany jest zbiór wektorów np.(1,3,0),(2,0,2),(-3,-9,0) i nie bardzo wiem jak sprawdzić czy jest bazą w przestrzeni R3. Definicje bazy znam wektory muszą generować przestrzeń i być liniowo niezależne. Wiem że najlepiej stworzyć macierz,w której po eliminacji (metodą schodkową) liczymy jedynki, czyli rząd macierzy i dowiadujemy się o generacji przestrzeni. A jak potem sprawdzić niezależność tych wektorów?Proszę o rady i jakiś przykład, który mi to przybliży. Przepraszam jeżeli jest niejasno napisany post.
-
miodzio1988
-
miodzio1988
Czy zbior jest bazą w danej przestrzeni?
No to mówisz o macierzach i nie wiesz co to jest wyznacznik? No to czas się tego douczyć
-
Radek44
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 21 paź 2012, o 20:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Czy zbior jest bazą w danej przestrzeni?
\(\displaystyle{ (1,3,0) (2,0,2) (-3,9,0)}\)
czyli :
1 krok to sprawdzenie liniowej niezależności. Aby wektory były liniowo niezależne, to z zerowania kombinacji musi wynikac zerowanie współczynników. Więc :
\(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) (1,3,0) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\) (2,0,2) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) (-3,9,0) = 0
rozwiązujesz to i od razu widać, że \(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) = 0 , \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\)=0 , \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) = 0 co oznacza, że wektory są liniowo niezależne.
2 krok to sprawdzenie warunku generowania. Więc :
\(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) (1,3,0) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\) (2,0,2) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) (-3,9,0) = (\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\))
Rozwiąż to w zależności od \(\displaystyle{ x_{1}}\) , \(\displaystyle{ x_{2}}\) , \(\displaystyle{ x_{3}}\)
Jeśli okaże się, że da się przedstawić jako te iksy to oznacza, że podany zbiór wektorów jest bazą w \(\displaystyle{ R^{3}}\)
PS : moje pierwsze rozwiązanie na tym forum
czyli :
1 krok to sprawdzenie liniowej niezależności. Aby wektory były liniowo niezależne, to z zerowania kombinacji musi wynikac zerowanie współczynników. Więc :
\(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) (1,3,0) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\) (2,0,2) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) (-3,9,0) = 0
rozwiązujesz to i od razu widać, że \(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) = 0 , \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\)=0 , \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) = 0 co oznacza, że wektory są liniowo niezależne.
2 krok to sprawdzenie warunku generowania. Więc :
\(\displaystyle{ $\alpha$_{1}}\) (1,3,0) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{2}}\) (2,0,2) + \(\displaystyle{ $\alpha$_{3}}\) (-3,9,0) = (\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\))
Rozwiąż to w zależności od \(\displaystyle{ x_{1}}\) , \(\displaystyle{ x_{2}}\) , \(\displaystyle{ x_{3}}\)
Jeśli okaże się, że da się przedstawić jako te iksy to oznacza, że podany zbiór wektorów jest bazą w \(\displaystyle{ R^{3}}\)
PS : moje pierwsze rozwiązanie na tym forum